Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40692 / 10196
↖ ↑ ↗
← N 76.895728°
E 43.527832°		 ← 138.48 m → N 76.895728°
E 43.533325°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 76.894483°
E 43.527832°		 ← 138.49 m →
19 181 m²		 N 76.894483°
E 43.533325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620918273925781 y=0.155586242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620918273925781 × 216)
    floor (0.620918273925781 × 65536)
    floor (40692.5)     		tx = 40692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155586242675781 × 216)
    floor (0.155586242675781 × 65536)
    floor (10196.5)     		ty = 10196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40692 / 10196 ti = "16/40692/10196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40692/10196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40692 ÷ 216
    40692 ÷ 65536     		x = 0.62091064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10196 ÷ 216
    10196 ÷ 65536     		y = 0.15557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62091064453125 × 2 - 1) × π
    0.2418212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75970399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15557861328125 × 2 - 1) × π
    0.6888427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16406339644782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75970399} λ = 0.75970399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16406339644782))-π/2
    2×atan(8.7064436108856)-π/2
    2×1.45643998167757-π/2
    2.91287996335514-1.57079632675     		φ = 1.34208364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75970399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.527832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34208364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.895728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40692 KachelY 10196 0.75970399 1.34208364 43.527832 76.895728
    Oben rechts KachelX + 1 40693 KachelY 10196 0.75979986 1.34208364 43.533325 76.895728
    Unten links KachelX 40692 KachelY + 1 10197 0.75970399 1.34206190 43.527832 76.894483
    Unten rechts KachelX + 1 40693 KachelY + 1 10197 0.75979986 1.34206190 43.533325 76.894483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34208364-1.34206190) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34208364-1.34206190) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75970399-0.75979986) × cos(1.34208364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226723921374387 × 6371000     		do = 138.480198341914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75970399-0.75979986) × cos(1.34206190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226745095190916 × 6371000     		du = 138.493131050094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34208364)-sin(1.34206190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226723921374387-0.226745095190916)×R²
    abs(0.75979986-0.75970399)×2.11738165289133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11738165289133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11738165289133e-05×40589641000000     		ar = 19181.1702773143m²