Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40691 / 57487
↖ ↑ ↗
← S 79.317923°
E 43.522339°		 ← 113.23 m → S 79.317923°
E 43.527832°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 79.318942°
E 43.522339°		 ← 113.22 m →
12 818 m²		 S 79.318942°
E 43.527832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620903015136719 y=0.877189636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620903015136719 × 216)
    floor (0.620903015136719 × 65536)
    floor (40691.5)     		tx = 40691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877189636230469 × 216)
    floor (0.877189636230469 × 65536)
    floor (57487.5)     		ty = 57487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40691 / 57487 ti = "16/40691/57487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40691/57487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40691 ÷ 216
    40691 ÷ 65536     		x = 0.620895385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57487 ÷ 216
    57487 ÷ 65536     		y = 0.877182006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620895385742188 × 2 - 1) × π
    0.241790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75960811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877182006835938 × 2 - 1) × π
    -0.754364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36990444341634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75960811} λ = 0.75960811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36990444341634))-π/2
    2×atan(0.0934896594037027)-π/2
    2×0.0932187025382888-π/2
    0.186437405076578-1.57079632675     		φ = -1.38435892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75960811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.522339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38435892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.317923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40691 KachelY 57487 0.75960811 -1.38435892 43.522339 -79.317923
    Oben rechts KachelX + 1 40692 KachelY 57487 0.75970399 -1.38435892 43.527832 -79.317923
    Unten links KachelX 40691 KachelY + 1 57488 0.75960811 -1.38437669 43.522339 -79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 40692 KachelY + 1 57488 0.75970399 -1.38437669 43.527832 -79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38435892--1.38437669) × R
    1.77700000001391e-05 × 6371000     		dl = 113.212670000886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38435892--1.38437669) × R
    1.77700000001391e-05 × 6371000     		dr = 113.212670000886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75960811-0.75970399) × cos(-1.38435892) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185359222257658 × 6371000     		do = 113.226955247796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75960811-0.75970399) × cos(-1.38437669) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 113.216288504336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38435892)-sin(-1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185359222257658-0.185341760167756)×R²
    abs(0.75970399-0.75960811)×1.74620899012767e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74620899012767e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74620899012767e-05×40589641000000     		ar = 12818.1221146428m²