Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40689 / 9999
N 77.138834°
E 43.511352°
← 135.97 m → N 77.138834°
E 43.516846°

135.96 m

135.96 m
N 77.137612°
E 43.511352°
← 135.98 m →
18 487 m²
N 77.137612°
E 43.516846°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620872497558594 y=0.152580261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620872497558594 × 216)
    floor (0.620872497558594 × 65536)
    floor (40689.5)
    tx = 40689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152580261230469 × 216)
    floor (0.152580261230469 × 65536)
    floor (9999.5)
    ty = 9999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40689 / 9999 ti = "16/40689/9999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40689/9999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40689 ÷ 216
    40689 ÷ 65536
    x = 0.620864868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9999 ÷ 216
    9999 ÷ 65536
    y = 0.152572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.620864868164062 × 2 - 1) × π
    0.241729736328125 × 3.1415926535
    Λ = 0.75941636
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.152572631835938 × 2 - 1) × π
    0.694854736328125 × 3.1415926535
    Φ = 2.18295053489812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75941636} λ = 0.75941636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18295053489812))-π/2
    2×atan(8.87244613840656)-π/2
    2×1.45856148562744-π/2
    2.91712297125488-1.57079632675
    φ = 1.34632664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75941636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.511352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34632664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.138834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40689 KachelY 9999 0.75941636 1.34632664 43.511352 77.138834
    Oben rechts KachelX + 1 40690 KachelY 9999 0.75951224 1.34632664 43.516846 77.138834
    Unten links KachelX 40689 KachelY + 1 10000 0.75941636 1.34630530 43.511352 77.137612
    Unten rechts KachelX + 1 40690 KachelY + 1 10000 0.75951224 1.34630530 43.516846 77.137612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34632664-1.34630530) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000
    dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34632664-1.34630530) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000
    dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.75941636-0.75951224) × cos(1.34632664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222589384596406 × 6371000
    do = 135.969055012915m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.75941636-0.75951224) × cos(1.34630530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22261018917391 × 6371000
    du = 135.981763519874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34632664)-sin(1.34630530))×
    abs(λ12)×abs(0.222589384596406-0.22261018917391)×
    abs(0.75951224-0.75941636)×2.08045775036969e-05×
    9.58799999999371e-05×2.08045775036969e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08045775036969e-05×40589641000000
    ar = 18486.8277550395m²