Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40686 / 9772
↖ ↑ ↗
← N 77.413467°
E 43.494873°		 ← 133.11 m → N 77.413467°
E 43.500366°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
N 77.412270°
E 43.494873°		 ← 133.13 m →
17 725 m²		 N 77.412270°
E 43.500366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620826721191406 y=0.149116516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620826721191406 × 216)
    floor (0.620826721191406 × 65536)
    floor (40686.5)     		tx = 40686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149116516113281 × 216)
    floor (0.149116516113281 × 65536)
    floor (9772.5)     		ty = 9772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40686 / 9772 ti = "16/40686/9772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40686/9772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40686 ÷ 216
    40686 ÷ 65536     		x = 0.620819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9772 ÷ 216
    9772 ÷ 65536     		y = 0.14910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620819091796875 × 2 - 1) × π
    0.24163818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75912874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14910888671875 × 2 - 1) × π
    0.7017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20471388732562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75912874} λ = 0.75912874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20471388732562))-π/2
    2×atan(9.06765682513515)-π/2
    2×1.46095810697134-π/2
    2.92191621394268-1.57079632675     		φ = 1.35111989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75912874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.494873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35111989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.413467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40686 KachelY 9772 0.75912874 1.35111989 43.494873 77.413467
    Oben rechts KachelX + 1 40687 KachelY 9772 0.75922462 1.35111989 43.500366 77.413467
    Unten links KachelX 40686 KachelY + 1 9773 0.75912874 1.35109899 43.494873 77.412270
    Unten rechts KachelX + 1 40687 KachelY + 1 9773 0.75922462 1.35109899 43.500366 77.412270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35111989-1.35109899) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35111989-1.35109899) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75912874-0.75922462) × cos(1.35111989) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217913847156248 × 6371000     		do = 133.112996047955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75912874-0.75922462) × cos(1.35109899) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217934244840048 × 6371000     		du = 133.125456003293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35111989)-sin(1.35109899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217913847156248-0.217934244840048)×R²
    abs(0.75922462-0.75912874)×2.03976837998276e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03976837998276e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03976837998276e-05×40589641000000     		ar = 17725.344111016m²