Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40685 / 9779
↖ ↑ ↗
← N 77.405085°
E 43.489380°		 ← 133.19 m → N 77.405085°
E 43.494873°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
N 77.403887°
E 43.489380°		 ← 133.20 m →
17 735 m²		 N 77.403887°
E 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620811462402344 y=0.149223327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620811462402344 × 216)
    floor (0.620811462402344 × 65536)
    floor (40685.5)     		tx = 40685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149223327636719 × 216)
    floor (0.149223327636719 × 65536)
    floor (9779.5)     		ty = 9779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40685 / 9779 ti = "16/40685/9779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40685/9779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40685 ÷ 216
    40685 ÷ 65536     		x = 0.620803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9779 ÷ 216
    9779 ÷ 65536     		y = 0.149215698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620803833007812 × 2 - 1) × π
    0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149215698242188 × 2 - 1) × π
    0.701568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20404277073094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75903287} λ = 0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20404277073094))-π/2
    2×atan(9.0615734117331)-π/2
    2×1.46088496021863-π/2
    2.92176992043725-1.57079632675     		φ = 1.35097359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35097359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.405085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40685 KachelY 9779 0.75903287 1.35097359 43.489380 77.405085
    Oben rechts KachelX + 1 40686 KachelY 9779 0.75912874 1.35097359 43.494873 77.405085
    Unten links KachelX 40685 KachelY + 1 9780 0.75903287 1.35095269 43.489380 77.403887
    Unten rechts KachelX + 1 40686 KachelY + 1 9780 0.75912874 1.35095269 43.494873 77.403887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35097359-1.35095269) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35097359-1.35095269) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(1.35097359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218056628943423 × 6371000     		do = 133.186322126068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(1.35095269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218077025960664 × 6371000     		du = 133.198780374743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35097359)-sin(1.35095269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218056628943423-0.218077025960664)×R²
    abs(0.75912874-0.75903287)×2.03970172417134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03970172417134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03970172417134e-05×40589641000000     		ar = 17735.107650661m²