Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40685 / 9778
↖ ↑ ↗
← N 77.406283°
E 43.489380°		 ← 133.17 m → N 77.406283°
E 43.494873°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
N 77.405085°
E 43.489380°		 ← 133.19 m →
17 742 m²		 N 77.405085°
E 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620811462402344 y=0.149208068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620811462402344 × 216)
    floor (0.620811462402344 × 65536)
    floor (40685.5)     		tx = 40685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149208068847656 × 216)
    floor (0.149208068847656 × 65536)
    floor (9778.5)     		ty = 9778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40685 / 9778 ti = "16/40685/9778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40685/9778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40685 ÷ 216
    40685 ÷ 65536     		x = 0.620803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9778 ÷ 216
    9778 ÷ 65536     		y = 0.149200439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620803833007812 × 2 - 1) × π
    0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149200439453125 × 2 - 1) × π
    0.70159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20413864453018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75903287} λ = 0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20413864453018))-π/2
    2×atan(9.06244222085053)-π/2
    2×1.46089541268818-π/2
    2.92179082537636-1.57079632675     		φ = 1.35099450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35099450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.406283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40685 KachelY 9778 0.75903287 1.35099450 43.489380 77.406283
    Oben rechts KachelX + 1 40686 KachelY 9778 0.75912874 1.35099450 43.494873 77.406283
    Unten links KachelX 40685 KachelY + 1 9779 0.75903287 1.35097359 43.489380 77.405085
    Unten rechts KachelX + 1 40686 KachelY + 1 9779 0.75912874 1.35097359 43.494873 77.405085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35099450-1.35097359) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dl = 133.217610000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35099450-1.35097359) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dr = 133.217610000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(1.35099450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218036222071525 × 6371000     		do = 133.173857858288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(1.35097359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218056628943423 × 6371000     		du = 133.186322126068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35099450)-sin(1.35097359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218036222071525-0.218056628943423)×R²
    abs(0.75912874-0.75903287)×2.04068718979711e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04068718979711e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04068718979711e-05×40589641000000     		ar = 17741.9332888582m²