Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40685 / 57482
↖ ↑ ↗
← S 79.312832°
E 43.489380°		 ← 113.27 m → S 79.312832°
E 43.494873°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 79.313850°
E 43.489380°		 ← 113.26 m →
12 823 m²		 S 79.313850°
E 43.494873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620811462402344 y=0.877113342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620811462402344 × 216)
    floor (0.620811462402344 × 65536)
    floor (40685.5)     		tx = 40685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877113342285156 × 216)
    floor (0.877113342285156 × 65536)
    floor (57482.5)     		ty = 57482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40685 / 57482 ti = "16/40685/57482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40685/57482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40685 ÷ 216
    40685 ÷ 65536     		x = 0.620803833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57482 ÷ 216
    57482 ÷ 65536     		y = 0.877105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620803833007812 × 2 - 1) × π
    0.241607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75903287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877105712890625 × 2 - 1) × π
    -0.75421142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36942507442014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75903287} λ = 0.75903287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36942507442014))-π/2
    2×atan(0.0935344861913139)-π/2
    2×0.0932631407357305-π/2
    0.186526281471461-1.57079632675     		φ = -1.38427005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75903287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.489380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38427005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.312832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40685 KachelY 57482 0.75903287 -1.38427005 43.489380 -79.312832
    Oben rechts KachelX + 1 40686 KachelY 57482 0.75912874 -1.38427005 43.494873 -79.312832
    Unten links KachelX 40685 KachelY + 1 57483 0.75903287 -1.38428782 43.489380 -79.313850
    Unten rechts KachelX + 1 40686 KachelY + 1 57483 0.75912874 -1.38428782 43.494873 -79.313850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38427005--1.38428782) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38427005--1.38428782) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(-1.38427005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		do = 113.268485633982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75903287-0.75912874) × cos(-1.38428782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185429089685046 × 6371000     		du = 113.257820181857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38427005)-sin(-1.38428782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185446551482169-0.185429089685046)×R²
    abs(0.75912874-0.75903287)×1.74617971229196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74617971229196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74617971229196e-05×40589641000000     		ar = 12822.8239534736m²