Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40671 / 9823
↖ ↑ ↗
← N 77.352273°
E 43.412476°		 ← 133.74 m → N 77.352273°
E 43.417969°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
N 77.351069°
E 43.412476°		 ← 133.75 m →
17 893 m²		 N 77.351069°
E 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620597839355469 y=0.149894714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620597839355469 × 216)
    floor (0.620597839355469 × 65536)
    floor (40671.5)     		tx = 40671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149894714355469 × 216)
    floor (0.149894714355469 × 65536)
    floor (9823.5)     		ty = 9823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40671 / 9823 ti = "16/40671/9823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40671/9823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40671 ÷ 216
    40671 ÷ 65536     		x = 0.620590209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9823 ÷ 216
    9823 ÷ 65536     		y = 0.149887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620590209960938 × 2 - 1) × π
    0.241180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75769064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149887084960938 × 2 - 1) × π
    0.700225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19982432356438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75769064} λ = 0.75769064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19982432356438))-π/2
    2×atan(9.02342815648887)-π/2
    2×1.46042408205517-π/2
    2.92084816411035-1.57079632675     		φ = 1.35005184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75769064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.412476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35005184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.352273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40671 KachelY 9823 0.75769064 1.35005184 43.412476 77.352273
    Oben rechts KachelX + 1 40672 KachelY 9823 0.75778651 1.35005184 43.417969 77.352273
    Unten links KachelX 40671 KachelY + 1 9824 0.75769064 1.35003084 43.412476 77.351069
    Unten rechts KachelX + 1 40672 KachelY + 1 9824 0.75778651 1.35003084 43.417969 77.351069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35005184-1.35003084) × R
    2.09999999998267e-05 × 6371000     		dl = 133.790999998896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35005184-1.35003084) × R
    2.09999999998267e-05 × 6371000     		dr = 133.790999998896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75769064-0.75778651) × cos(1.35005184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218956105299917 × 6371000     		do = 133.735711284018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75769064-0.75778651) × cos(1.35003084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218976595680542 × 6371000     		du = 133.748226557907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35005184)-sin(1.35003084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218956105299917-0.218976595680542)×R²
    abs(0.75778651-0.75769064)×2.04903806247658e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04903806247658e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04903806247658e-05×40589641000000     		ar = 17893.4717643677m²