Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40670 / 9827
↖ ↑ ↗
← N 77.347460°
E 43.406982°		 ← 133.80 m → N 77.347460°
E 43.412476°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
N 77.346257°
E 43.406982°		 ← 133.81 m →
17 902 m²		 N 77.346257°
E 43.412476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620582580566406 y=0.149955749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620582580566406 × 216)
    floor (0.620582580566406 × 65536)
    floor (40670.5)     		tx = 40670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149955749511719 × 216)
    floor (0.149955749511719 × 65536)
    floor (9827.5)     		ty = 9827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40670 / 9827 ti = "16/40670/9827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40670/9827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40670 ÷ 216
    40670 ÷ 65536     		x = 0.620574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9827 ÷ 216
    9827 ÷ 65536     		y = 0.149948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620574951171875 × 2 - 1) × π
    0.24114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75759476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149948120117188 × 2 - 1) × π
    0.700103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19944082836742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75759476} λ = 0.75759476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19944082836742))-π/2
    2×atan(9.01996837857724)-π/2
    2×1.46038208989133-π/2
    2.92076417978266-1.57079632675     		φ = 1.34996785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75759476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.406982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34996785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.347460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40670 KachelY 9827 0.75759476 1.34996785 43.406982 77.347460
    Oben rechts KachelX + 1 40671 KachelY 9827 0.75769064 1.34996785 43.412476 77.347460
    Unten links KachelX 40670 KachelY + 1 9828 0.75759476 1.34994685 43.406982 77.346257
    Unten rechts KachelX + 1 40671 KachelY + 1 9828 0.75769064 1.34994685 43.412476 77.346257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34996785-1.34994685) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dl = 133.791000000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34996785-1.34994685) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dr = 133.791000000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75759476-0.75769064) × cos(1.34996785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219038056485805 × 6371000     		do = 133.79972098059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75759476-0.75769064) × cos(1.34994685) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219058546480147 × 6371000     		du = 133.812237323959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34996785)-sin(1.34994685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219038056485805-0.219058546480147)×R²
    abs(0.75769064-0.75759476)×2.04899943420656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.04899943420656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.04899943420656e-05×40589641000000     		ar = 17902.0357570797m²