Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40668 / 9756
↖ ↑ ↗
← N 77.432605°
E 43.395996°		 ← 132.91 m → N 77.432605°
E 43.401489°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
N 77.431410°
E 43.395996°		 ← 132.93 m →
17 665 m²		 N 77.431410°
E 43.401489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620552062988281 y=0.148872375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620552062988281 × 216)
    floor (0.620552062988281 × 65536)
    floor (40668.5)     		tx = 40668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148872375488281 × 216)
    floor (0.148872375488281 × 65536)
    floor (9756.5)     		ty = 9756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40668 / 9756 ti = "16/40668/9756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40668/9756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40668 ÷ 216
    40668 ÷ 65536     		x = 0.62054443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9756 ÷ 216
    9756 ÷ 65536     		y = 0.14886474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62054443359375 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75740301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14886474609375 × 2 - 1) × π
    0.7022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20624786811346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75740301} λ = 0.75740301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20624786811346))-π/2
    2×atan(9.08157711049115)-π/2
    2×1.46112511974788-π/2
    2.92225023949575-1.57079632675     		φ = 1.35145391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75740301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.395996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35145391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.432605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40668 KachelY 9756 0.75740301 1.35145391 43.395996 77.432605
    Oben rechts KachelX + 1 40669 KachelY 9756 0.75749889 1.35145391 43.401489 77.432605
    Unten links KachelX 40668 KachelY + 1 9757 0.75740301 1.35143305 43.395996 77.431410
    Unten rechts KachelX + 1 40669 KachelY + 1 9757 0.75749889 1.35143305 43.401489 77.431410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35145391-1.35143305) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35145391-1.35143305) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75740301-0.75749889) × cos(1.35145391) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217587842171583 × 6371000     		do = 132.913855420584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75740301-0.75749889) × cos(1.35143305) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217608202334128 × 6371000     		du = 132.926292456009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35145391)-sin(1.35143305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217587842171583-0.217608202334128)×R²
    abs(0.75749889-0.75740301)×2.03601625456684e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03601625456684e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03601625456684e-05×40589641000000     		ar = 17664.9528823476m²