Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40668 / 32204
↖ ↑ ↗
← N 67.123020°
W 68.302002°		 ← 118.74 m → N 67.123020°
W 68.299255°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
N 67.121952°
W 68.302002°		 ← 118.74 m →
14 101 m²		 N 67.121952°
W 68.299255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.310276031494141 y=0.245700836181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.310276031494141 × 217)
    floor (0.310276031494141 × 131072)
    floor (40668.5)     		tx = 40668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245700836181641 × 217)
    floor (0.245700836181641 × 131072)
    floor (32204.5)     		ty = 32204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40668 / 32204 ti = "17/40668/32204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40668/32204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40668 ÷ 217
    40668 ÷ 131072     		x = 0.310272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32204 ÷ 217
    32204 ÷ 131072     		y = 0.245697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.310272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.37945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.19209482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245697021484375 × 2 - 1) × π
    0.50860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59783273813571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.19209482} λ = -1.19209482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59783273813571))-π/2
    2×atan(4.94230952996637)-π/2
    2×1.37115701351537-π/2
    2.74231402703075-1.57079632675     		φ = 1.17151770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.19209482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -68.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17151770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.123020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40668 KachelY 32204 -1.19209482 1.17151770 -68.302002 67.123020
    Oben rechts KachelX + 1 40669 KachelY 32204 -1.19204688 1.17151770 -68.299255 67.123020
    Unten links KachelX 40668 KachelY + 1 32205 -1.19209482 1.17149906 -68.302002 67.121952
    Unten rechts KachelX + 1 40669 KachelY + 1 32205 -1.19204688 1.17149906 -68.299255 67.121952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17151770-1.17149906) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dl = 118.755440001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17151770-1.17149906) × R
    1.86400000001807e-05 × 6371000     		dr = 118.755440001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.19209482--1.19204688) × cos(1.17151770) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388753812322319 × 6371000     		do = 118.735420806837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.19209482--1.19204688) × cos(1.17149906) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.388770986063516 × 6371000     		du = 118.740666109451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17151770)-sin(1.17149906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388753812322319-0.388770986063516)×R²
    abs(-1.19204688--1.19209482)×1.71737411971407e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71737411971407e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71737411971407e-05×40589641000000     		ar = 14100.7885960146m²