Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40665 / 57495
↖ ↑ ↗
← S 79.326066°
E 43.379516°		 ← 113.14 m → S 79.326066°
E 43.385010°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 79.327083°
E 43.379516°		 ← 113.13 m →
12 794 m²		 S 79.327083°
E 43.385010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620506286621094 y=0.877311706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620506286621094 × 216)
    floor (0.620506286621094 × 65536)
    floor (40665.5)     		tx = 40665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877311706542969 × 216)
    floor (0.877311706542969 × 65536)
    floor (57495.5)     		ty = 57495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40665 / 57495 ti = "16/40665/57495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40665/57495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40665 ÷ 216
    40665 ÷ 65536     		x = 0.620498657226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57495 ÷ 216
    57495 ÷ 65536     		y = 0.877304077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620498657226562 × 2 - 1) × π
    0.240997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75711539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877304077148438 × 2 - 1) × π
    -0.754608154296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37067143381026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75711539} λ = 0.75711539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37067143381026))-π/2
    2×atan(0.0934179812247604)-π/2
    2×0.0931476449491114-π/2
    0.186295289898223-1.57079632675     		φ = -1.38450104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75711539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.379516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38450104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.326066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40665 KachelY 57495 0.75711539 -1.38450104 43.379516 -79.326066
    Oben rechts KachelX + 1 40666 KachelY 57495 0.75721127 -1.38450104 43.385010 -79.326066
    Unten links KachelX 40665 KachelY + 1 57496 0.75711539 -1.38451879 43.379516 -79.327083
    Unten rechts KachelX + 1 40666 KachelY + 1 57496 0.75721127 -1.38451879 43.385010 -79.327083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38450104--1.38451879) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38450104--1.38451879) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75711539-0.75721127) × cos(-1.38450104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185219563207919 × 6371000     		do = 113.141644310436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75711539-0.75721127) × cos(-1.38451879) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185202120304105 × 6371000     		du = 113.130989286827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38450104)-sin(-1.38451879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185219563207919-0.185202120304105)×R²
    abs(0.75721127-0.75711539)×1.74429038133361e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74429038133361e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74429038133361e-05×40589641000000     		ar = 12794.048669656m²