Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40664 / 9752
↖ ↑ ↗
← N 77.437385°
E 43.374024°		 ← 132.85 m → N 77.437385°
E 43.379516°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 77.436191°
E 43.374024°		 ← 132.86 m →
17 648 m²		 N 77.436191°
E 43.379516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620491027832031 y=0.148811340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620491027832031 × 216)
    floor (0.620491027832031 × 65536)
    floor (40664.5)     		tx = 40664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148811340332031 × 216)
    floor (0.148811340332031 × 65536)
    floor (9752.5)     		ty = 9752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40664 / 9752 ti = "16/40664/9752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40664/9752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40664 ÷ 216
    40664 ÷ 65536     		x = 0.6204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9752 ÷ 216
    9752 ÷ 65536     		y = 0.1488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6204833984375 × 2 - 1) × π
    0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1488037109375 × 2 - 1) × π
    0.702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20663136331042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75701952} λ = 0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20663136331042))-π/2
    2×atan(9.08506051958648)-π/2
    2×1.46116683388608-π/2
    2.92233366777217-1.57079632675     		φ = 1.35153734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35153734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.437385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40664 KachelY 9752 0.75701952 1.35153734 43.374024 77.437385
    Oben rechts KachelX + 1 40665 KachelY 9752 0.75711539 1.35153734 43.379516 77.437385
    Unten links KachelX 40664 KachelY + 1 9753 0.75701952 1.35151649 43.374024 77.436191
    Unten rechts KachelX + 1 40665 KachelY + 1 9753 0.75711539 1.35151649 43.379516 77.436191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35153734-1.35151649) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dl = 132.835349999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35153734-1.35151649) × R
    2.08499999998502e-05 × 6371000     		dr = 132.835349999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75701952-0.75711539) × cos(1.35153734) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.217506410335267 × 6371000     		do = 132.850255329534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75701952-0.75711539) × cos(1.35151649) × R
    9.58700000001089e-05 × 0.217526761115895 × 6371000     		du = 132.862685337451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35153734)-sin(1.35151649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217506410335267-0.217526761115895)×R²
    abs(0.75711539-0.75701952)×2.03507806277869e-05×R²
    9.58700000001089e-05×2.03507806277869e-05×6371000²
    9.58700000001089e-05×2.03507806277869e-05×40589641000000     		ar = 17648.0357367991m²