Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4066 / 12903
↖ ↑ ↗
← S 71.350041°
W 90.659180°		 ← 781.30 m → S 71.350041°
W 90.637207°		 →
↑
781.21 m
↓
↑
781.21 m
↓
S 71.357067°
W 90.659180°		 ← 781.02 m →
610 254 m²		 S 71.357067°
W 90.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248199462890625 y=0.787567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248199462890625 × 214)
    floor (0.248199462890625 × 16384)
    floor (4066.5)     		tx = 4066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787567138671875 × 214)
    floor (0.787567138671875 × 16384)
    floor (12903.5)     		ty = 12903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4066 / 12903 ti = "14/4066/12903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4066/12903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4066 ÷ 214
    4066 ÷ 16384     		x = 0.2481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12903 ÷ 214
    12903 ÷ 16384     		y = 0.78753662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.5750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80664587288068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58230118} λ = -1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80664587288068))-π/2
    2×atan(0.164203975179568)-π/2
    2×0.162751592457551-π/2
    0.325503184915102-1.57079632675     		φ = -1.24529314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24529314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.350041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4066 KachelY 12903 -1.58230118 -1.24529314 -90.659180 -71.350041
    Oben rechts KachelX + 1 4067 KachelY 12903 -1.58191769 -1.24529314 -90.637207 -71.350041
    Unten links KachelX 4066 KachelY + 1 12904 -1.58230118 -1.24541576 -90.659180 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 4067 KachelY + 1 12904 -1.58191769 -1.24541576 -90.637207 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24529314--1.24541576) × R
    0.000122619999999962 × 6371000     		dl = 781.212019999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24529314--1.24541576) × R
    0.000122619999999962 × 6371000     		dr = 781.212019999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58230118--1.58191769) × cos(-1.24529314) × R
    0.000383489999999931 × 0.31978559074458 × 6371000     		do = 781.304884935904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58230118--1.58191769) × cos(-1.24541576) × R
    0.000383489999999931 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 781.021023398215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24529314)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31978559074458-0.31966940712501)×R²
    abs(-1.58191769--1.58230118)×0.000116183619569887×R²
    0.000383489999999931×0.000116183619569887×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116183619569887×40589641000000     		ar = 610253.890137489m²