Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40649 / 9831
↖ ↑ ↗
← N 77.342647°
E 43.291626°		 ← 133.85 m → N 77.342647°
E 43.297119°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
N 77.341443°
E 43.291626°		 ← 133.86 m →
17 917 m²		 N 77.341443°
E 43.297119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620262145996094 y=0.150016784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620262145996094 × 216)
    floor (0.620262145996094 × 65536)
    floor (40649.5)     		tx = 40649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150016784667969 × 216)
    floor (0.150016784667969 × 65536)
    floor (9831.5)     		ty = 9831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40649 / 9831 ti = "16/40649/9831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40649/9831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40649 ÷ 216
    40649 ÷ 65536     		x = 0.620254516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9831 ÷ 216
    9831 ÷ 65536     		y = 0.150009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620254516601562 × 2 - 1) × π
    0.240509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75558141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150009155273438 × 2 - 1) × π
    0.699981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19905733317046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75558141} λ = 0.75558141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19905733317046))-π/2
    2×atan(9.01650992721945)-π/2
    2×1.46034008201182-π/2
    2.92068016402363-1.57079632675     		φ = 1.34988384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75558141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.291626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34988384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.342647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40649 KachelY 9831 0.75558141 1.34988384 43.291626 77.342647
    Oben rechts KachelX + 1 40650 KachelY 9831 0.75567729 1.34988384 43.297119 77.342647
    Unten links KachelX 40649 KachelY + 1 9832 0.75558141 1.34986283 43.291626 77.341443
    Unten rechts KachelX + 1 40650 KachelY + 1 9832 0.75567729 1.34986283 43.297119 77.341443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34988384-1.34986283) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34988384-1.34986283) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75558141-0.75567729) × cos(1.34988384) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219120025640487 × 6371000     		do = 133.849791960042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75558141-0.75567729) × cos(1.34986283) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.219140525005243 × 6371000     		du = 133.862314027342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34988384)-sin(1.34986283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219120025640487-0.219140525005243)×R²
    abs(0.75567729-0.75558141)×2.0499364755594e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0499364755594e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0499364755594e-05×40589641000000     		ar = 17917.2631557808m²