Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40648 / 9768
↖ ↑ ↗
← N 77.418254°
E 43.286133°		 ← 133.05 m → N 77.418254°
E 43.291626°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
N 77.417058°
E 43.286133°		 ← 133.06 m →
17 700 m²		 N 77.417058°
E 43.291626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620246887207031 y=0.149055480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620246887207031 × 216)
    floor (0.620246887207031 × 65536)
    floor (40648.5)     		tx = 40648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149055480957031 × 216)
    floor (0.149055480957031 × 65536)
    floor (9768.5)     		ty = 9768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40648 / 9768 ti = "16/40648/9768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40648/9768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40648 ÷ 216
    40648 ÷ 65536     		x = 0.6202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9768 ÷ 216
    9768 ÷ 65536     		y = 0.1490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1490478515625 × 2 - 1) × π
    0.701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20509738252258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75548554} λ = 0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20509738252258))-π/2
    2×atan(9.07113489484416)-π/2
    2×1.46099988361014-π/2
    2.92199976722029-1.57079632675     		φ = 1.35120344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35120344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.418254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40648 KachelY 9768 0.75548554 1.35120344 43.286133 77.418254
    Oben rechts KachelX + 1 40649 KachelY 9768 0.75558141 1.35120344 43.291626 77.418254
    Unten links KachelX 40648 KachelY + 1 9769 0.75548554 1.35118256 43.286133 77.417058
    Unten rechts KachelX + 1 40649 KachelY + 1 9769 0.75558141 1.35118256 43.291626 77.417058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35120344-1.35118256) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dl = 133.026479999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35120344-1.35118256) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dr = 133.026479999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75548554-0.75558141) × cos(1.35120344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21783230426858 × 6371000     		do = 133.049307358164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75548554-0.75558141) × cos(1.35118256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217852682813213 × 6371000     		du = 133.061754323997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35120344)-sin(1.35118256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21783230426858-0.217852682813213)×R²
    abs(0.75558141-0.75548554)×2.03785446331872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03785446331872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03785446331872e-05×40589641000000     		ar = 17699.9089129834m²