Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4064 / 5984
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
W  1.406250°		 ← 2 176.64 m → S 63.548552°
W  1.362305°		 →
↑
2 175.89 m
↓
↑
2 175.89 m
↓
S 63.568120°
W  1.406250°		 ← 2 175.14 m →
4 734 490 m²		 S 63.568120°
W  1.362305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49615478515625 y=0.73052978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49615478515625 × 213)
    floor (0.49615478515625 × 8192)
    floor (4064.5)     		tx = 4064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73052978515625 × 213)
    floor (0.73052978515625 × 8192)
    floor (5984.5)     		ty = 5984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4064 / 5984 ti = "13/4064/5984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4064/5984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4064 ÷ 213
    4064 ÷ 8192     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5984 ÷ 213
    5984 ÷ 8192     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4064 KachelY 5984 -0.02454369 -1.10913147 -1.406250 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 4065 KachelY 5984 -0.02377670 -1.10913147 -1.362305 -63.548552
    Unten links KachelX 4064 KachelY + 1 5985 -0.02454369 -1.10947300 -1.406250 -63.568120
    Unten rechts KachelX + 1 4065 KachelY + 1 5985 -0.02377670 -1.10947300 -1.362305 -63.568120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.10947300) × R
    0.000341530000000034 × 6371000     		dl = 2175.88763000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.10947300) × R
    0.000341530000000034 × 6371000     		dr = 2175.88763000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02377670) × cos(-1.10913147) × R
    0.000766989999999999 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 2176.6361022221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02377670) × cos(-1.10947300) × R
    0.000766989999999999 × 0.445133488179513 × 6371000     		du = 2175.14180314348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.10947300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.445133488179513)×R²
    abs(-0.02377670--0.02454369)×0.000305801929918414×R²
    0.000766989999999999×0.000305801929918414×6371000²
    0.000766989999999999×0.000305801929918414×40589641000000     		ar = 4734489.90241681m²