Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4062 / 4334
↖ ↑ ↗
← S 10.401378°
W  1.494140°		 ← 4 806.19 m → S 10.401378°
W  1.450195°		 →
↑
4 805.84 m
↓
↑
4 805.84 m
↓
S 10.444598°
W  1.494140°		 ← 4 805.53 m →
23 096 182 m²		 S 10.444598°
W  1.450195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49591064453125 y=0.52911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49591064453125 × 213)
    floor (0.49591064453125 × 8192)
    floor (4062.5)     		tx = 4062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52911376953125 × 213)
    floor (0.52911376953125 × 8192)
    floor (4334.5)     		ty = 4334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4062 / 4334 ti = "13/4062/4334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4062/4334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4062 ÷ 213
    4062 ÷ 8192     		x = 0.495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4334 ÷ 213
    4334 ÷ 8192     		y = 0.529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.182543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02607767} λ = -0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182543713753174))-π/2
    2×atan(0.833148223096509)-π/2
    2×0.694629020865104-π/2
    1.38925804173021-1.57079632675     		φ = -0.18153829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18153829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.401378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4062 KachelY 4334 -0.02607767 -0.18153829 -1.494140 -10.401378
    Oben rechts KachelX + 1 4063 KachelY 4334 -0.02531068 -0.18153829 -1.450195 -10.401378
    Unten links KachelX 4062 KachelY + 1 4335 -0.02607767 -0.18229262 -1.494140 -10.444598
    Unten rechts KachelX + 1 4063 KachelY + 1 4335 -0.02531068 -0.18229262 -1.450195 -10.444598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18153829--0.18229262) × R
    0.000754329999999998 × 6371000     		dl = 4805.83642999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18153829--0.18229262) × R
    0.000754329999999998 × 6371000     		dr = 4805.83642999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02607767--0.02531068) × cos(-0.18153829) × R
    0.000766990000000002 × 0.983567129442025 × 6371000     		do = 4806.19417828303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02607767--0.02531068) × cos(-0.18229262) × R
    0.000766990000000002 × 0.983430660774588 × 6371000     		du = 4805.5273250553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18153829)-sin(-0.18229262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983567129442025-0.983430660774588)×R²
    abs(-0.02531068--0.02607767)×0.000136468667436773×R²
    0.000766990000000002×0.000136468667436773×6371000²
    0.000766990000000002×0.000136468667436773×40589641000000     		ar = 23096181.7730487m²