Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4061 / 1981
↖ ↑ ↗
← N 67.659386°
W  1.538086°		 ← 1 857.41 m → N 67.659386°
W  1.494140°		 →
↑
1 858.04 m
↓
↑
1 858.04 m
↓
N 67.642677°
W  1.538086°		 ← 1 858.73 m →
3 452 372 m²		 N 67.642677°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49578857421875 y=0.24188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49578857421875 × 213)
    floor (0.49578857421875 × 8192)
    floor (4061.5)     		tx = 4061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24188232421875 × 213)
    floor (0.24188232421875 × 8192)
    floor (1981.5)     		ty = 1981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4061 / 1981 ti = "13/4061/1981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4061/1981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4061 ÷ 213
    4061 ÷ 8192     		x = 0.4957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1981 ÷ 213
    1981 ÷ 8192     		y = 0.2418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2418212890625 × 2 - 1) × π
    0.516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6221846831427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02684466} λ = -0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6221846831427))-π/2
    2×atan(5.06414178538024)-π/2
    2×1.37583769440724-π/2
    2.75167538881447-1.57079632675     		φ = 1.18087906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18087906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.659386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4061 KachelY 1981 -0.02684466 1.18087906 -1.538086 67.659386
    Oben rechts KachelX + 1 4062 KachelY 1981 -0.02607767 1.18087906 -1.494140 67.659386
    Unten links KachelX 4061 KachelY + 1 1982 -0.02684466 1.18058742 -1.538086 67.642677
    Unten rechts KachelX + 1 4062 KachelY + 1 1982 -0.02607767 1.18058742 -1.494140 67.642677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18087906-1.18058742) × R
    0.000291640000000148 × 6371000     		dl = 1858.03844000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18087906-1.18058742) × R
    0.000291640000000148 × 6371000     		dr = 1858.03844000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02684466--0.02607767) × cos(1.18087906) × R
    0.000766989999999999 × 0.380111893131144 × 6371000     		do = 1857.41421523453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02684466--0.02607767) × cos(1.18058742) × R
    0.000766989999999999 × 0.380381626612921 × 6371000     		du = 1858.73226608332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18087906)-sin(1.18058742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380111893131144-0.380381626612921)×R²
    abs(-0.02607767--0.02684466)×0.000269733481777168×R²
    0.000766989999999999×0.000269733481777168×6371000²
    0.000766989999999999×0.000269733481777168×40589641000000     		ar = 3452371.52995237m²