Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40600 / 57533
↖ ↑ ↗
← S 79.364660°
E 43.022461°		 ← 112.73 m → S 79.364660°
E 43.027954°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 79.365674°
E 43.022461°		 ← 112.71 m →
12 711 m²		 S 79.365674°
E 43.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619514465332031 y=0.877891540527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619514465332031 × 216)
    floor (0.619514465332031 × 65536)
    floor (40600.5)     		tx = 40600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877891540527344 × 216)
    floor (0.877891540527344 × 65536)
    floor (57533.5)     		ty = 57533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40600 / 57533 ti = "16/40600/57533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40600/57533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40600 ÷ 216
    40600 ÷ 65536     		x = 0.6195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57533 ÷ 216
    57533 ÷ 65536     		y = 0.877883911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6195068359375 × 2 - 1) × π
    0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877883911132812 × 2 - 1) × π
    -0.755767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37431463818138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75088360} λ = 0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37431463818138))-π/2
    2×atan(0.0930782596405595)-π/2
    2×0.0928108518553761-π/2
    0.185621703710752-1.57079632675     		φ = -1.38517462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38517462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.364660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40600 KachelY 57533 0.75088360 -1.38517462 43.022461 -79.364660
    Oben rechts KachelX + 1 40601 KachelY 57533 0.75097947 -1.38517462 43.027954 -79.364660
    Unten links KachelX 40600 KachelY + 1 57534 0.75088360 -1.38519232 43.022461 -79.365674
    Unten rechts KachelX + 1 40601 KachelY + 1 57534 0.75097947 -1.38519232 43.027954 -79.365674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38517462--1.38519232) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38517462--1.38519232) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75088360-0.75097947) × cos(-1.38517462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184557596085196 × 6371000     		do = 112.725522549435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75088360-0.75097947) × cos(-1.38519232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184540200112199 × 6371000     		du = 112.714897301882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38517462)-sin(-1.38519232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184557596085196-0.184540200112199)×R²
    abs(0.75097947-0.75088360)×1.73959729968809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73959729968809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73959729968809e-05×40589641000000     		ar = 12711.0860969278m²