Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40600 / 57531
↖ ↑ ↗
← S 79.362632°
E 43.022461°		 ← 112.75 m → S 79.362632°
E 43.027954°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 79.363646°
E 43.022461°		 ← 112.74 m →
12 713 m²		 S 79.363646°
E 43.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619514465332031 y=0.877861022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619514465332031 × 216)
    floor (0.619514465332031 × 65536)
    floor (40600.5)     		tx = 40600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877861022949219 × 216)
    floor (0.877861022949219 × 65536)
    floor (57531.5)     		ty = 57531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40600 / 57531 ti = "16/40600/57531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40600/57531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40600 ÷ 216
    40600 ÷ 65536     		x = 0.6195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57531 ÷ 216
    57531 ÷ 65536     		y = 0.877853393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6195068359375 × 2 - 1) × π
    0.239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75088360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.755706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3741228905829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75088360} λ = 0.75088360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3741228905829))-π/2
    2×atan(0.0930961088845365)-π/2
    2×0.0928285477603741-π/2
    0.185657095520748-1.57079632675     		φ = -1.38513923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75088360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.022461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38513923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.362632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40600 KachelY 57531 0.75088360 -1.38513923 43.022461 -79.362632
    Oben rechts KachelX + 1 40601 KachelY 57531 0.75097947 -1.38513923 43.027954 -79.362632
    Unten links KachelX 40600 KachelY + 1 57532 0.75088360 -1.38515693 43.022461 -79.363646
    Unten rechts KachelX + 1 40601 KachelY + 1 57532 0.75097947 -1.38515693 43.027954 -79.363646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38513923--1.38515693) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38513923--1.38515693) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75088360-0.75097947) × cos(-1.38513923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		do = 112.746766935677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75088360-0.75097947) × cos(-1.38515693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184574982172189 × 6371000     		du = 112.736141758738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38513923)-sin(-1.38515693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184592378029572-0.184574982172189)×R²
    abs(0.75097947-0.75088360)×1.73958573837507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73958573837507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73958573837507e-05×40589641000000     		ar = 12713.481760193m²