Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4060 / 3873
↖ ↑ ↗
← N 79.622078°
W135.395508°		 ← 220.05 m → N 79.622078°
W135.384522°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
N 79.620098°
W135.395508°		 ← 220.10 m →
48 443 m²		 N 79.620098°
W135.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123916625976562 y=0.118209838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123916625976562 × 215)
    floor (0.123916625976562 × 32768)
    floor (4060.5)     		tx = 4060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118209838867188 × 215)
    floor (0.118209838867188 × 32768)
    floor (3873.5)     		ty = 3873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4060 / 3873 ti = "15/4060/3873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4060/3873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4060 ÷ 215
    4060 ÷ 32768     		x = 0.1239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3873 ÷ 215
    3873 ÷ 32768     		y = 0.118194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.36309740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118194580078125 × 2 - 1) × π
    0.76361083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39895420458609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36309740} λ = -2.36309740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39895420458609))-π/2
    2×atan(11.0116544191933)-π/2
    2×1.48023186734377-π/2
    2.96046373468753-1.57079632675     		φ = 1.38966741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36309740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38966741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.622078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4060 KachelY 3873 -2.36309740 1.38966741 -135.395508 79.622078
    Oben rechts KachelX + 1 4061 KachelY 3873 -2.36290566 1.38966741 -135.384522 79.622078
    Unten links KachelX 4060 KachelY + 1 3874 -2.36309740 1.38963286 -135.395508 79.620098
    Unten rechts KachelX + 1 4061 KachelY + 1 3874 -2.36290566 1.38963286 -135.384522 79.620098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38966741-1.38963286) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dl = 220.11804999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38966741-1.38963286) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dr = 220.11804999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36309740--2.36290566) × cos(1.38966741) × R
    0.000191739999999996 × 0.18014013677586 × 6371000     		do = 220.05478485764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36309740--2.36290566) × cos(1.38963286) × R
    0.000191739999999996 × 0.18017412146338 × 6371000     		du = 220.09629972065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38966741)-sin(1.38963286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18014013677586-0.18017412146338)×R²
    abs(-2.36290566--2.36309740)×3.39846875201111e-05×R²
    0.000191739999999996×3.39846875201111e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.39846875201111e-05×40589641000000     		ar = 48442.5992253762m²