Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4060 / 1980
↖ ↑ ↗
← N 67.676085°
W  1.582031°		 ← 1 856.10 m → N 67.676085°
W  1.538086°		 →
↑
1 856.76 m
↓
↑
1 856.76 m
↓
N 67.659386°
W  1.582031°		 ← 1 857.41 m →
3 447 557 m²		 N 67.659386°
W  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49566650390625 y=0.24176025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49566650390625 × 213)
    floor (0.49566650390625 × 8192)
    floor (4060.5)     		tx = 4060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24176025390625 × 213)
    floor (0.24176025390625 × 8192)
    floor (1980.5)     		ty = 1980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4060 / 1980 ti = "13/4060/1980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4060/1980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4060 ÷ 213
    4060 ÷ 8192     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1980 ÷ 213
    1980 ÷ 8192     		y = 0.24169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24169921875 × 2 - 1) × π
    0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62295167353662))-π/2
    2×atan(5.06802742341612)-π/2
    2×1.37598341379551-π/2
    2.75196682759102-1.57079632675     		φ = 1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4060 KachelY 1980 -0.02761165 1.18117050 -1.582031 67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 4061 KachelY 1980 -0.02684466 1.18117050 -1.538086 67.676085
    Unten links KachelX 4060 KachelY + 1 1981 -0.02761165 1.18087906 -1.582031 67.659386
    Unten rechts KachelX + 1 4061 KachelY + 1 1981 -0.02684466 1.18087906 -1.538086 67.659386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18117050-1.18087906) × R
    0.00029143999999981 × 6371000     		dl = 1856.76423999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18117050-1.18087906) × R
    0.00029143999999981 × 6371000     		dr = 1856.76423999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02684466) × cos(1.18117050) × R
    0.000766990000000002 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 1856.09691045683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02684466) × cos(1.18087906) × R
    0.000766990000000002 × 0.380111893131144 × 6371000     		du = 1857.41421523454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18117050)-sin(1.18087906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.380111893131144)×R²
    abs(-0.02684466--0.02761165)×0.000269580801513736×R²
    0.000766990000000002×0.000269580801513736×6371000²
    0.000766990000000002×0.000269580801513736×40589641000000     		ar = 3447557.3559097m²