Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4060 / 1979
↖ ↑ ↗
← N 67.692771°
W  1.582031°		 ← 1 854.78 m → N 67.692771°
W  1.538086°		 →
↑
1 855.43 m
↓
↑
1 855.43 m
↓
N 67.676085°
W  1.582031°		 ← 1 856.10 m →
3 442 630 m²		 N 67.676085°
W  1.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49566650390625 y=0.24163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49566650390625 × 213)
    floor (0.49566650390625 × 8192)
    floor (4060.5)     		tx = 4060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24163818359375 × 213)
    floor (0.24163818359375 × 8192)
    floor (1979.5)     		ty = 1979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4060 / 1979 ti = "13/4060/1979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4060/1979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4060 ÷ 213
    4060 ÷ 8192     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1979 ÷ 213
    1979 ÷ 8192     		y = 0.2415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2415771484375 × 2 - 1) × π
    0.516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62371866393054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62371866393054))-π/2
    2×atan(5.07191604284225)-π/2
    2×1.37612902983175-π/2
    2.75225805966351-1.57079632675     		φ = 1.18146173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18146173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.692771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4060 KachelY 1979 -0.02761165 1.18146173 -1.582031 67.692771
    Oben rechts KachelX + 1 4061 KachelY 1979 -0.02684466 1.18146173 -1.538086 67.692771
    Unten links KachelX 4060 KachelY + 1 1980 -0.02761165 1.18117050 -1.582031 67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 4061 KachelY + 1 1980 -0.02684466 1.18117050 -1.538086 67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18146173-1.18117050) × R
    0.000291230000000198 × 6371000     		dl = 1855.42633000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18146173-1.18117050) × R
    0.000291230000000198 × 6371000     		dr = 1855.42633000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02684466) × cos(1.18146173) × R
    0.000766990000000002 × 0.379572893549339 × 6371000     		do = 1854.78039739474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02684466) × cos(1.18117050) × R
    0.000766990000000002 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 1856.09691045683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18146173)-sin(1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379572893549339-0.37984231232963)×R²
    abs(-0.02684466--0.02761165)×0.000269418780290853×R²
    0.000766990000000002×0.000269418780290853×6371000²
    0.000766990000000002×0.000269418780290853×40589641000000     		ar = 3442629.75653088m²