Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40599 / 57423
↖ ↑ ↗
← S 79.252562°
E 43.016968°		 ← 113.91 m → S 79.252562°
E 43.022461°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 79.253585°
E 43.016968°		 ← 113.90 m →
12 968 m²		 S 79.253585°
E 43.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619499206542969 y=0.876213073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619499206542969 × 216)
    floor (0.619499206542969 × 65536)
    floor (40599.5)     		tx = 40599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876213073730469 × 216)
    floor (0.876213073730469 × 65536)
    floor (57423.5)     		ty = 57423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40599 / 57423 ti = "16/40599/57423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40599/57423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40599 ÷ 216
    40599 ÷ 65536     		x = 0.619491577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57423 ÷ 216
    57423 ÷ 65536     		y = 0.876205444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619491577148438 × 2 - 1) × π
    0.238983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75078772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876205444335938 × 2 - 1) × π
    -0.752410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36376852026497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75078772} λ = 0.75078772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36376852026497))-π/2
    2×atan(0.0940650682963013)-π/2
    2×0.0937890952713642-π/2
    0.187578190542728-1.57079632675     		φ = -1.38321814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75078772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.016968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38321814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.252562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40599 KachelY 57423 0.75078772 -1.38321814 43.016968 -79.252562
    Oben rechts KachelX + 1 40600 KachelY 57423 0.75088360 -1.38321814 43.022461 -79.252562
    Unten links KachelX 40599 KachelY + 1 57424 0.75078772 -1.38323601 43.016968 -79.253585
    Unten rechts KachelX + 1 40600 KachelY + 1 57424 0.75088360 -1.38323601 43.022461 -79.253585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38321814--1.38323601) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38321814--1.38323601) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75078772-0.75088360) × cos(-1.38321814) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		do = 113.911652791661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75078772-0.75088360) × cos(-1.38323601) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186462556064473 × 6371000     		du = 113.900928336492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38321814)-sin(-1.38323601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186480112631856-0.186462556064473)×R²
    abs(0.75088360-0.75078772)×1.75565673831701e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75565673831701e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75565673831701e-05×40589641000000     		ar = 12968.2049824487m²