Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40598 / 57422
↖ ↑ ↗
← S 79.251537°
E 43.011475°		 ← 113.91 m → S 79.251537°
E 43.016968°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 79.252562°
E 43.011475°		 ← 113.90 m →
12 975 m²		 S 79.252562°
E 43.016968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619483947753906 y=0.876197814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619483947753906 × 216)
    floor (0.619483947753906 × 65536)
    floor (40598.5)     		tx = 40598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876197814941406 × 216)
    floor (0.876197814941406 × 65536)
    floor (57422.5)     		ty = 57422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40598 / 57422 ti = "16/40598/57422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40598/57422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40598 ÷ 216
    40598 ÷ 65536     		x = 0.619476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57422 ÷ 216
    57422 ÷ 65536     		y = 0.876190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619476318359375 × 2 - 1) × π
    0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.75238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36367264646573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75069185} λ = 0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36367264646573))-π/2
    2×atan(0.0940740871041014)-π/2
    2×0.0937980349709983-π/2
    0.187596069941997-1.57079632675     		φ = -1.38320026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38320026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.251537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40598 KachelY 57422 0.75069185 -1.38320026 43.011475 -79.251537
    Oben rechts KachelX + 1 40599 KachelY 57422 0.75078772 -1.38320026 43.016968 -79.251537
    Unten links KachelX 40598 KachelY + 1 57423 0.75069185 -1.38321814 43.011475 -79.252562
    Unten rechts KachelX + 1 40599 KachelY + 1 57423 0.75078772 -1.38321814 43.016968 -79.252562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38320026--1.38321814) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38320026--1.38321814) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75069185-0.75078772) × cos(-1.38320026) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186497678964244 × 6371000     		do = 113.910501444744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75069185-0.75078772) × cos(-1.38321814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186480112631856 × 6371000     		du = 113.899772143758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38320026)-sin(-1.38321814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186497678964244-0.186480112631856)×R²
    abs(0.75078772-0.75069185)×1.75663323873643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75663323873643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75663323873643e-05×40589641000000     		ar = 12975.3305228419m²