Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40595 / 57459
↖ ↑ ↗
← S 79.289376°
E 42.994995°		 ← 113.51 m → S 79.289376°
E 43.000488°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 79.290397°
E 42.994995°		 ← 113.50 m →
12 887 m²		 S 79.290397°
E 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619438171386719 y=0.876762390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619438171386719 × 216)
    floor (0.619438171386719 × 65536)
    floor (40595.5)     		tx = 40595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876762390136719 × 216)
    floor (0.876762390136719 × 65536)
    floor (57459.5)     		ty = 57459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40595 / 57459 ti = "16/40595/57459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40595/57459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40595 ÷ 216
    40595 ÷ 65536     		x = 0.619430541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57459 ÷ 216
    57459 ÷ 65536     		y = 0.876754760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619430541992188 × 2 - 1) × π
    0.238861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75040423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876754760742188 × 2 - 1) × π
    -0.753509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36721997703761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75040423} λ = 0.75040423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36721997703761))-π/2
    2×atan(0.0937409664128212)-π/2
    2×0.0934678262689121-π/2
    0.186935652537824-1.57079632675     		φ = -1.38386067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75040423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.994995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38386067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.289376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40595 KachelY 57459 0.75040423 -1.38386067 42.994995 -79.289376
    Oben rechts KachelX + 1 40596 KachelY 57459 0.75050010 -1.38386067 43.000488 -79.289376
    Unten links KachelX 40595 KachelY + 1 57460 0.75040423 -1.38387849 42.994995 -79.290397
    Unten rechts KachelX + 1 40596 KachelY + 1 57460 0.75050010 -1.38387849 43.000488 -79.290397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38386067--1.38387849) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dl = 113.531220000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38386067--1.38387849) × R
    1.78200000000572e-05 × 6371000     		dr = 113.531220000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75040423-0.75050010) × cos(-1.38386067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		do = 113.514183252723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75040423-0.75050010) × cos(-1.38387849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		du = 113.503488618002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38386067)-sin(-1.38387849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185848814970093-0.185831305394351)×R²
    abs(0.75050010-0.75040423)×1.75095757415367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75095757415367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75095757415367e-05×40589641000000     		ar = 12886.79662493m²