Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40594 / 57458
↖ ↑ ↗
← S 79.288355°
E 42.989502°		 ← 113.54 m → S 79.288355°
E 42.994995°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.289376°
E 42.989502°		 ← 113.53 m →
12 882 m²		 S 79.289376°
E 42.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619422912597656 y=0.876747131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619422912597656 × 216)
    floor (0.619422912597656 × 65536)
    floor (40594.5)     		tx = 40594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876747131347656 × 216)
    floor (0.876747131347656 × 65536)
    floor (57458.5)     		ty = 57458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40594 / 57458 ti = "16/40594/57458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40594/57458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40594 ÷ 216
    40594 ÷ 65536     		x = 0.619415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57458 ÷ 216
    57458 ÷ 65536     		y = 0.876739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619415283203125 × 2 - 1) × π
    0.23883056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75030835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.75347900390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36712410323837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75030835} λ = 0.75030835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36712410323837))-π/2
    2×atan(0.0937499541462528)-π/2
    2×0.0934767357043423-π/2
    0.186953471408685-1.57079632675     		φ = -1.38384286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75030835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.989502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38384286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.288355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40594 KachelY 57458 0.75030835 -1.38384286 42.989502 -79.288355
    Oben rechts KachelX + 1 40595 KachelY 57458 0.75040423 -1.38384286 42.994995 -79.288355
    Unten links KachelX 40594 KachelY + 1 57459 0.75030835 -1.38386067 42.989502 -79.289376
    Unten rechts KachelX + 1 40595 KachelY + 1 57459 0.75040423 -1.38386067 42.994995 -79.289376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38384286--1.38386067) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38384286--1.38386067) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75030835-0.75040423) × cos(-1.38384286) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185866314661067 × 6371000     		do = 113.536713392916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75030835-0.75040423) × cos(-1.38386067) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185848814970093 × 6371000     		du = 113.526023680784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38384286)-sin(-1.38386067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185866314661067-0.185848814970093)×R²
    abs(0.75040423-0.75030835)×1.74996909744485e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74996909744485e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74996909744485e-05×40589641000000     		ar = 12882.1216953556m²