Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40593 / 57519
↖ ↑ ↗
← S 79.350457°
E 42.984009°		 ← 112.87 m → S 79.350457°
E 42.989502°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.351472°
E 42.984009°		 ← 112.86 m →
12 742 m²		 S 79.351472°
E 42.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619407653808594 y=0.877677917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619407653808594 × 216)
    floor (0.619407653808594 × 65536)
    floor (40593.5)     		tx = 40593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877677917480469 × 216)
    floor (0.877677917480469 × 65536)
    floor (57519.5)     		ty = 57519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40593 / 57519 ti = "16/40593/57519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40593/57519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40593 ÷ 216
    40593 ÷ 65536     		x = 0.619400024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57519 ÷ 216
    57519 ÷ 65536     		y = 0.877670288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619400024414062 × 2 - 1) × π
    0.238800048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75021248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877670288085938 × 2 - 1) × π
    -0.755340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37297240499202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75021248} λ = 0.75021248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37297240499202))-π/2
    2×atan(0.0932032762518104)-π/2
    2×0.0929347932497577-π/2
    0.185869586499515-1.57079632675     		φ = -1.38492674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75021248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.984009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38492674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.350457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40593 KachelY 57519 0.75021248 -1.38492674 42.984009 -79.350457
    Oben rechts KachelX + 1 40594 KachelY 57519 0.75030835 -1.38492674 42.989502 -79.350457
    Unten links KachelX 40593 KachelY + 1 57520 0.75021248 -1.38494446 42.984009 -79.351472
    Unten rechts KachelX + 1 40594 KachelY + 1 57520 0.75030835 -1.38494446 42.989502 -79.351472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38492674--1.38494446) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38492674--1.38494446) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75021248-0.75030835) × cos(-1.38492674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18480121225564 × 6371000     		do = 112.874320326917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75021248-0.75030835) × cos(-1.38494446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184783797437298 × 6371000     		du = 112.863683568856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38492674)-sin(-1.38494446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18480121225564-0.184783797437298)×R²
    abs(0.75030835-0.75021248)×1.74148183423317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74148183423317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74148183423317e-05×40589641000000     		ar = 12742.2466504073m²