Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40592 / 57452
↖ ↑ ↗
← S 79.282228°
E 42.978516°		 ← 113.59 m → S 79.282228°
E 42.984009°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 79.283249°
E 42.978516°		 ← 113.58 m →
12 903 m²		 S 79.283249°
E 42.984009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619392395019531 y=0.876655578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619392395019531 × 216)
    floor (0.619392395019531 × 65536)
    floor (40592.5)     		tx = 40592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876655578613281 × 216)
    floor (0.876655578613281 × 65536)
    floor (57452.5)     		ty = 57452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40592 / 57452 ti = "16/40592/57452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40592/57452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40592 ÷ 216
    40592 ÷ 65536     		x = 0.619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57452 ÷ 216
    57452 ÷ 65536     		y = 0.87664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    0.23876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75011661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.7532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36654886044293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75011661} λ = 0.75011661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36654886044293))-π/2
    2×atan(0.0938038986460532)-π/2
    2×0.093530209945667-π/2
    0.187060419891334-1.57079632675     		φ = -1.38373591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75011661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38373591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.282228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40592 KachelY 57452 0.75011661 -1.38373591 42.978516 -79.282228
    Oben rechts KachelX + 1 40593 KachelY 57452 0.75021248 -1.38373591 42.984009 -79.282228
    Unten links KachelX 40592 KachelY + 1 57453 0.75011661 -1.38375374 42.978516 -79.283249
    Unten rechts KachelX + 1 40593 KachelY + 1 57453 0.75021248 -1.38375374 42.984009 -79.283249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38373591--1.38375374) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38373591--1.38375374) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75011661-0.75021248) × cos(-1.38373591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185971399998607 × 6371000     		do = 113.589056688924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75011661-0.75021248) × cos(-1.38375374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185953881010581 × 6371000     		du = 113.578356305295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38373591)-sin(-1.38375374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185971399998607-0.185953881010581)×R²
    abs(0.75021248-0.75011661)×1.75189880260163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75189880260163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75189880260163e-05×40589641000000     		ar = 12902.5331888336m²