Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40586 / 57498
↖ ↑ ↗
← S 79.329118°
E 42.945556°		 ← 113.11 m → S 79.329118°
E 42.951050°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 79.330135°
E 42.945556°		 ← 113.10 m →
12 790 m²		 S 79.330135°
E 42.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619300842285156 y=0.877357482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619300842285156 × 216)
    floor (0.619300842285156 × 65536)
    floor (40586.5)     		tx = 40586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877357482910156 × 216)
    floor (0.877357482910156 × 65536)
    floor (57498.5)     		ty = 57498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40586 / 57498 ti = "16/40586/57498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40586/57498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40586 ÷ 216
    40586 ÷ 65536     		x = 0.619293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57498 ÷ 216
    57498 ÷ 65536     		y = 0.877349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619293212890625 × 2 - 1) × π
    0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.75469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37095905520798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74954136} λ = 0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37095905520798))-π/2
    2×atan(0.093391116078109)-π/2
    2×0.0931210121578442-π/2
    0.186242024315688-1.57079632675     		φ = -1.38455430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38455430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.329118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40586 KachelY 57498 0.74954136 -1.38455430 42.945556 -79.329118
    Oben rechts KachelX + 1 40587 KachelY 57498 0.74963724 -1.38455430 42.951050 -79.329118
    Unten links KachelX 40586 KachelY + 1 57499 0.74954136 -1.38457205 42.945556 -79.330135
    Unten rechts KachelX + 1 40587 KachelY + 1 57499 0.74963724 -1.38457205 42.951050 -79.330135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38455430--1.38457205) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38455430--1.38457205) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74954136-0.74963724) × cos(-1.38455430) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185167224494363 × 6371000     		do = 113.1096731298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74954136-0.74963724) × cos(-1.38457205) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		du = 113.09901799925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38455430)-sin(-1.38457205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185167224494363-0.185149781415483)×R²
    abs(0.74963724-0.74954136)×1.74430788804636e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74430788804636e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74430788804636e-05×40589641000000     		ar = 12790.4331945162m²