Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40586 / 57454
↖ ↑ ↗
← S 79.284270°
E 42.945556°		 ← 113.58 m → S 79.284270°
E 42.951050°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 79.285292°
E 42.945556°		 ← 113.57 m →
12 901 m²		 S 79.285292°
E 42.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619300842285156 y=0.876686096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619300842285156 × 216)
    floor (0.619300842285156 × 65536)
    floor (40586.5)     		tx = 40586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876686096191406 × 216)
    floor (0.876686096191406 × 65536)
    floor (57454.5)     		ty = 57454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40586 / 57454 ti = "16/40586/57454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40586/57454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40586 ÷ 216
    40586 ÷ 65536     		x = 0.619293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57454 ÷ 216
    57454 ÷ 65536     		y = 0.876678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619293212890625 × 2 - 1) × π
    0.23858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74954136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.75335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36674060804141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74954136} λ = 0.74954136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36674060804141))-π/2
    2×atan(0.0937859136981002)-π/2
    2×0.0935123818401945-π/2
    0.187024763680389-1.57079632675     		φ = -1.38377156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74954136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.945556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38377156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.284270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40586 KachelY 57454 0.74954136 -1.38377156 42.945556 -79.284270
    Oben rechts KachelX + 1 40587 KachelY 57454 0.74963724 -1.38377156 42.951050 -79.284270
    Unten links KachelX 40586 KachelY + 1 57455 0.74954136 -1.38378939 42.945556 -79.285292
    Unten rechts KachelX + 1 40587 KachelY + 1 57455 0.74963724 -1.38378939 42.951050 -79.285292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38377156--1.38378939) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38377156--1.38378939) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74954136-0.74963724) × cos(-1.38377156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185936371789056 × 6371000     		do = 113.579507893101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74954136-0.74963724) × cos(-1.38378939) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185918852682836 × 6371000     		du = 113.568806321138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38377156)-sin(-1.38378939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185936371789056-0.185918852682836)×R²
    abs(0.74963724-0.74954136)×1.75191062200819e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75191062200819e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75191062200819e-05×40589641000000     		ar = 12901.4484268025m²