Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40584 / 57496
↖ ↑ ↗
← S 79.327083°
E 42.934570°		 ← 113.13 m → S 79.327083°
E 42.940064°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
S 79.328101°
E 42.934570°		 ← 113.12 m →
12 800 m²		 S 79.328101°
E 42.940064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619270324707031 y=0.877326965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619270324707031 × 216)
    floor (0.619270324707031 × 65536)
    floor (40584.5)     		tx = 40584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877326965332031 × 216)
    floor (0.877326965332031 × 65536)
    floor (57496.5)     		ty = 57496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40584 / 57496 ti = "16/40584/57496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40584/57496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40584 ÷ 216
    40584 ÷ 65536     		x = 0.6192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57496 ÷ 216
    57496 ÷ 65536     		y = 0.8773193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6192626953125 × 2 - 1) × π
    0.238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.74934961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8773193359375 × 2 - 1) × π
    -0.754638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3707673076095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74934961} λ = 0.74934961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3707673076095))-π/2
    2×atan(0.0934090253173083)-π/2
    2×0.0931387665156034-π/2
    0.186277533031207-1.57079632675     		φ = -1.38451879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74934961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.934570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38451879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.327083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40584 KachelY 57496 0.74934961 -1.38451879 42.934570 -79.327083
    Oben rechts KachelX + 1 40585 KachelY 57496 0.74944549 -1.38451879 42.940064 -79.327083
    Unten links KachelX 40584 KachelY + 1 57497 0.74934961 -1.38453655 42.934570 -79.328101
    Unten rechts KachelX + 1 40585 KachelY + 1 57497 0.74944549 -1.38453655 42.940064 -79.328101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38451879--1.38453655) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dl = 113.148959999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38451879--1.38453655) × R
    1.77599999999778e-05 × 6371000     		dr = 113.148959999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74934961-0.74944549) × cos(-1.38451879) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185202120304105 × 6371000     		do = 113.130989286958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74934961-0.74944549) × cos(-1.38453655) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185184667514904 × 6371000     		du = 113.120328224844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38451879)-sin(-1.38453655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185202120304105-0.185184667514904)×R²
    abs(0.74944549-0.74934961)×1.7452789200928e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.7452789200928e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.7452789200928e-05×40589641000000     		ar = 12800.0506375544m²