Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40583 / 57401
↖ ↑ ↗
← S 79.230002°
E 42.929077°		 ← 114.14 m → S 79.230002°
E 42.934570°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
S 79.231028°
E 42.929077°		 ← 114.13 m →
13 023 m²		 S 79.231028°
E 42.934570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619255065917969 y=0.875877380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619255065917969 × 216)
    floor (0.619255065917969 × 65536)
    floor (40583.5)     		tx = 40583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.875877380371094 × 216)
    floor (0.875877380371094 × 65536)
    floor (57401.5)     		ty = 57401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40583 / 57401 ti = "16/40583/57401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40583/57401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40583 ÷ 216
    40583 ÷ 65536     		x = 0.619247436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57401 ÷ 216
    57401 ÷ 65536     		y = 0.875869750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619247436523438 × 2 - 1) × π
    0.238494873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74925374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875869750976562 × 2 - 1) × π
    -0.751739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36165929668169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74925374} λ = 0.74925374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36165929668169))-π/2
    2×atan(0.094263681943376)-π/2
    2×0.0939859633028503-π/2
    0.187971926605701-1.57079632675     		φ = -1.38282440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74925374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.929077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38282440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.230002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40583 KachelY 57401 0.74925374 -1.38282440 42.929077 -79.230002
    Oben rechts KachelX + 1 40584 KachelY 57401 0.74934961 -1.38282440 42.934570 -79.230002
    Unten links KachelX 40583 KachelY + 1 57402 0.74925374 -1.38284231 42.929077 -79.231028
    Unten rechts KachelX + 1 40584 KachelY + 1 57402 0.74934961 -1.38284231 42.934570 -79.231028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38282440--1.38284231) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38282440--1.38284231) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74925374-0.74934961) × cos(-1.38282440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186866931469387 × 6371000     		do = 114.136036358927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74925374-0.74934961) × cos(-1.38284231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186849336919859 × 6371000     		du = 114.125289823257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38282440)-sin(-1.38284231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186866931469387-0.186849336919859)×R²
    abs(0.74934961-0.74925374)×1.75945495281271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75945495281271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75945495281271e-05×40589641000000     		ar = 13022.8348015488m²