Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4058 / 1982
↖ ↑ ↗
← N 67.642677°
W  1.669922°		 ← 1 858.73 m → N 67.642677°
W  1.625976°		 →
↑
1 859.44 m
↓
↑
1 859.44 m
↓
N 67.625954°
W  1.669922°		 ← 1 860.05 m →
3 457 427 m²		 N 67.625954°
W  1.625976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49542236328125 y=0.24200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49542236328125 × 213)
    floor (0.49542236328125 × 8192)
    floor (4058.5)     		tx = 4058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24200439453125 × 213)
    floor (0.24200439453125 × 8192)
    floor (1982.5)     		ty = 1982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4058 / 1982 ti = "13/4058/1982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4058/1982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4058 ÷ 213
    4058 ÷ 8192     		x = 0.495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1982 ÷ 213
    1982 ÷ 8192     		y = 0.241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495361328125 × 2 - 1) × π
    -0.00927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02914563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241943359375 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62141769274878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02914563} λ = -0.02914563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62141769274878))-π/2
    2×atan(5.06025912644879)-π/2
    2×1.37569187160597-π/2
    2.75138374321194-1.57079632675     		φ = 1.18058742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02914563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18058742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.642677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4058 KachelY 1982 -0.02914563 1.18058742 -1.669922 67.642677
    Oben rechts KachelX + 1 4059 KachelY 1982 -0.02837864 1.18058742 -1.625976 67.642677
    Unten links KachelX 4058 KachelY + 1 1983 -0.02914563 1.18029556 -1.669922 67.625954
    Unten rechts KachelX + 1 4059 KachelY + 1 1983 -0.02837864 1.18029556 -1.625976 67.625954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18058742-1.18029556) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dl = 1859.4400599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18058742-1.18029556) × R
    0.000291859999999922 × 6371000     		dr = 1859.4400599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02914563--0.02837864) × cos(1.18058742) × R
    0.000766989999999999 × 0.380381626612921 × 6371000     		do = 1858.73226608332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02914563--0.02837864) × cos(1.18029556) × R
    0.000766989999999999 × 0.380651531179853 × 6371000     		du = 1860.05115293858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18058742)-sin(1.18029556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380381626612921-0.380651531179853)×R²
    abs(-0.02837864--0.02914563)×0.000269904566932322×R²
    0.000766989999999999×0.000269904566932322×6371000²
    0.000766989999999999×0.000269904566932322×40589641000000     		ar = 3457427.45643854m²