Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4057 / 4317
↖ ↑ ↗
← S  9.665738°
W  1.713867°		 ← 4 817.19 m → S  9.665738°
W  1.669922°		 →
↑
4 816.79 m
↓
↑
4 816.79 m
↓
S  9.709057°
W  1.713867°		 ← 4 816.57 m →
23 201 907 m²		 S  9.709057°
W  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49530029296875 y=0.52703857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49530029296875 × 213)
    floor (0.49530029296875 × 8192)
    floor (4057.5)     		tx = 4057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52703857421875 × 213)
    floor (0.52703857421875 × 8192)
    floor (4317.5)     		ty = 4317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4057 / 4317 ti = "13/4057/4317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4057/4317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4057 ÷ 213
    4057 ÷ 8192     		x = 0.4952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4317 ÷ 213
    4317 ÷ 8192     		y = 0.5269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    -0.009521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02991263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.169504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02991263} λ = -0.02991263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169504877056519))-π/2
    2×atan(0.844082637831593)-π/2
    2×0.701048683583599-π/2
    1.4020973671672-1.57079632675     		φ = -0.16869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02991263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.665738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4057 KachelY 4317 -0.02991263 -0.16869896 -1.713867 -9.665738
    Oben rechts KachelX + 1 4058 KachelY 4317 -0.02914563 -0.16869896 -1.669922 -9.665738
    Unten links KachelX 4057 KachelY + 1 4318 -0.02991263 -0.16945501 -1.713867 -9.709057
    Unten rechts KachelX + 1 4058 KachelY + 1 4318 -0.02914563 -0.16945501 -1.669922 -9.709057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16869896--0.16945501) × R
    0.00075604999999998 × 6371000     		dl = 4816.79454999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16869896--0.16945501) × R
    0.00075604999999998 × 6371000     		dr = 4816.79454999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02991263--0.02914563) × cos(-0.16869896) × R
    0.000767 × 0.985804045698839 × 6371000     		do = 4817.18766013798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02991263--0.02914563) × cos(-0.16945501) × R
    0.000767 × 0.985676823227132 × 6371000     		du = 4816.56598027831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16869896)-sin(-0.16945501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985804045698839-0.985676823227132)×R²
    abs(-0.02914563--0.02991263)×0.000127222471707378×R²
    0.000767×0.000127222471707378×6371000²
    0.000767×0.000127222471707378×40589641000000     		ar = 23201907.1208056m²