Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40569 / 57463
↖ ↑ ↗
← S 79.293459°
E 42.852173°		 ← 113.47 m → S 79.293459°
E 42.857666°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.294479°
E 42.852173°		 ← 113.46 m →
12 875 m²		 S 79.294479°
E 42.857666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619041442871094 y=0.876823425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619041442871094 × 216)
    floor (0.619041442871094 × 65536)
    floor (40569.5)     		tx = 40569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876823425292969 × 216)
    floor (0.876823425292969 × 65536)
    floor (57463.5)     		ty = 57463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40569 / 57463 ti = "16/40569/57463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40569/57463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40569 ÷ 216
    40569 ÷ 65536     		x = 0.619033813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57463 ÷ 216
    57463 ÷ 65536     		y = 0.876815795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619033813476562 × 2 - 1) × π
    0.238067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74791151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876815795898438 × 2 - 1) × π
    -0.753631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36760347223457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74791151} λ = 0.74791151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36760347223457))-π/2
    2×atan(0.0937050240947371)-π/2
    2×0.0934321969190353-π/2
    0.186864393838071-1.57079632675     		φ = -1.38393193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74791151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.852173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38393193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.293459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40569 KachelY 57463 0.74791151 -1.38393193 42.852173 -79.293459
    Oben rechts KachelX + 1 40570 KachelY 57463 0.74800738 -1.38393193 42.857666 -79.293459
    Unten links KachelX 40569 KachelY + 1 57464 0.74791151 -1.38394974 42.852173 -79.294479
    Unten rechts KachelX + 1 40570 KachelY + 1 57464 0.74800738 -1.38394974 42.857666 -79.294479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38393193--1.38394974) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38393193--1.38394974) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74791151-0.74800738) × cos(-1.38393193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		do = 113.471416500692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74791151-0.74800738) × cos(-1.38394974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		du = 113.460727723429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38393193)-sin(-1.38394974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185778795964914-0.185761295979177)×R²
    abs(0.74800738-0.74791151)×1.74999857377178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74999857377178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74999857377178e-05×40589641000000     		ar = 12874.7126726163m²