Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40567 / 57462
↖ ↑ ↗
← S 79.292438°
E 42.841187°		 ← 113.48 m → S 79.292438°
E 42.846679°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.293459°
E 42.841187°		 ← 113.47 m →
12 876 m²		 S 79.293459°
E 42.846679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619010925292969 y=0.876808166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619010925292969 × 216)
    floor (0.619010925292969 × 65536)
    floor (40567.5)     		tx = 40567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876808166503906 × 216)
    floor (0.876808166503906 × 65536)
    floor (57462.5)     		ty = 57462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40567 / 57462 ti = "16/40567/57462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40567/57462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40567 ÷ 216
    40567 ÷ 65536     		x = 0.619003295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57462 ÷ 216
    57462 ÷ 65536     		y = 0.876800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619003295898438 × 2 - 1) × π
    0.238006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74771976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.75360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36750759843533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74771976} λ = 0.74771976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36750759843533))-π/2
    2×atan(0.093714008382077)-π/2
    2×0.0934411029978803-π/2
    0.186882205995761-1.57079632675     		φ = -1.38391412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74771976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.841187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38391412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.292438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40567 KachelY 57462 0.74771976 -1.38391412 42.841187 -79.292438
    Oben rechts KachelX + 1 40568 KachelY 57462 0.74781563 -1.38391412 42.846679 -79.292438
    Unten links KachelX 40567 KachelY + 1 57463 0.74771976 -1.38393193 42.841187 -79.293459
    Unten rechts KachelX + 1 40568 KachelY + 1 57463 0.74781563 -1.38393193 42.846679 -79.293459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38391412--1.38393193) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38391412--1.38393193) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74771976-0.74781563) × cos(-1.38391412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185796295891723 × 6371000     		do = 113.482105241963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74771976-0.74781563) × cos(-1.38393193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		du = 113.471416500692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38391412)-sin(-1.38393193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185796295891723-0.185778795964914)×R²
    abs(0.74781563-0.74771976)×1.74999268091891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74999268091891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74999268091891e-05×40589641000000     		ar = 12875.925499164m²