Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40566 / 57456
↖ ↑ ↗
← S 79.286313°
E 42.835694°		 ← 113.55 m → S 79.286313°
E 42.841187°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 79.287334°
E 42.835694°		 ← 113.54 m →
12 890 m²		 S 79.287334°
E 42.841187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.618995666503906 y=0.876716613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.618995666503906 × 216)
    floor (0.618995666503906 × 65536)
    floor (40566.5)     		tx = 40566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876716613769531 × 216)
    floor (0.876716613769531 × 65536)
    floor (57456.5)     		ty = 57456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40566 / 57456 ti = "16/40566/57456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40566/57456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40566 ÷ 216
    40566 ÷ 65536     		x = 0.618988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57456 ÷ 216
    57456 ÷ 65536     		y = 0.876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.618988037109375 × 2 - 1) × π
    0.23797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.74762389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74762389} λ = 0.74762389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36693235563989))-π/2
    2×atan(0.0937679321983871)-π/2
    2×0.0934945570932897-π/2
    0.186989114186579-1.57079632675     		φ = -1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74762389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.835694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40566 KachelY 57456 0.74762389 -1.38380721 42.835694 -79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 40567 KachelY 57456 0.74771976 -1.38380721 42.841187 -79.286313
    Unten links KachelX 40566 KachelY + 1 57457 0.74762389 -1.38382503 42.835694 -79.287334
    Unten rechts KachelX + 1 40567 KachelY + 1 57457 0.74771976 -1.38382503 42.841187 -79.287334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38380721--1.38382503) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38380721--1.38382503) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74762389-0.74771976) × cos(-1.38380721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 113.546266940592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74762389-0.74771976) × cos(-1.38382503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18588383394452 × 6371000     		du = 113.535572414021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38380721)-sin(-1.38382503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.18588383394452)×R²
    abs(0.74771976-0.74762389)×1.75093986744257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75093986744257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75093986744257e-05×40589641000000     		ar = 12890.4391310396m²