Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4052 / 12916
↖ ↑ ↗
← S 71.441171°
W 90.966797°		 ← 777.64 m → S 71.441171°
W 90.944824°		 →
↑
777.52 m
↓
↑
777.52 m
↓
S 71.448163°
W 90.966797°		 ← 777.36 m →
604 520 m²		 S 71.448163°
W 90.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.247344970703125 y=0.788360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.247344970703125 × 214)
    floor (0.247344970703125 × 16384)
    floor (4052.5)     		tx = 4052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788360595703125 × 214)
    floor (0.788360595703125 × 16384)
    floor (12916.5)     		ty = 12916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4052 / 12916 ti = "14/4052/12916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4052/12916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4052 ÷ 214
    4052 ÷ 16384     		x = 0.247314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12916 ÷ 214
    12916 ÷ 16384     		y = 0.788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58767012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58767012} λ = -1.58767012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81163131044116))-π/2
    2×atan(0.163387383738284)-π/2
    2×0.161956336984497-π/2
    0.323912673968995-1.57079632675     		φ = -1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58767012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4052 KachelY 12916 -1.58767012 -1.24688365 -90.966797 -71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 4053 KachelY 12916 -1.58728662 -1.24688365 -90.944824 -71.441171
    Unten links KachelX 4052 KachelY + 1 12917 -1.58767012 -1.24700569 -90.966797 -71.448163
    Unten rechts KachelX + 1 4053 KachelY + 1 12917 -1.58728662 -1.24700569 -90.944824 -71.448163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24688365--1.24700569) × R
    0.000122039999999934 × 6371000     		dl = 777.516839999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24688365--1.24700569) × R
    0.000122039999999934 × 6371000     		dr = 777.516839999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58767012--1.58728662) × cos(-1.24688365) × R
    0.000383500000000092 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 777.642270080676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58767012--1.58728662) × cos(-1.24700569) × R
    0.000383500000000092 × 0.318162498712549 × 6371000     		du = 777.359592610835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24688365)-sin(-1.24700569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.318162498712549)×R²
    abs(-1.58728662--1.58767012)×0.000115695967463914×R²
    0.000383500000000092×0.000115695967463914×6371000²
    0.000383500000000092×0.000115695967463914×40589641000000     		ar = 604520.067985771m²