Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4051 / 4323
↖ ↑ ↗
← S  9.925566°
W  1.977539°		 ← 4 813.35 m → S  9.925566°
W  1.933594°		 →
↑
4 813.04 m
↓
↑
4 813.04 m
↓
S  9.968851°
W  1.977539°		 ← 4 812.72 m →
23 165 315 m²		 S  9.968851°
W  1.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49456787109375 y=0.52777099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49456787109375 × 213)
    floor (0.49456787109375 × 8192)
    floor (4051.5)     		tx = 4051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52777099609375 × 213)
    floor (0.52777099609375 × 8192)
    floor (4323.5)     		ty = 4323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4051 / 4323 ti = "13/4051/4323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4051/4323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4051 ÷ 213
    4051 ÷ 8192     		x = 0.4945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4323 ÷ 213
    4323 ÷ 8192     		y = 0.5277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03451457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.174106819420044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03451457} λ = -0.03451457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174106819420044))-π/2
    2×atan(0.840207142425045)-π/2
    2×0.698781260752304-π/2
    1.39756252150461-1.57079632675     		φ = -0.17323381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03451457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17323381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.925566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4051 KachelY 4323 -0.03451457 -0.17323381 -1.977539 -9.925566
    Oben rechts KachelX + 1 4052 KachelY 4323 -0.03374758 -0.17323381 -1.933594 -9.925566
    Unten links KachelX 4051 KachelY + 1 4324 -0.03451457 -0.17398927 -1.977539 -9.968851
    Unten rechts KachelX + 1 4052 KachelY + 1 4324 -0.03374758 -0.17398927 -1.933594 -9.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17323381--0.17398927) × R
    0.000755460000000013 × 6371000     		dl = 4813.03566000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17323381--0.17398927) × R
    0.000755460000000013 × 6371000     		dr = 4813.03566000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03451457--0.03374758) × cos(-0.17323381) × R
    0.000766990000000002 × 0.985032510905661 × 6371000     		do = 4813.35475497238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03451457--0.03374758) × cos(-0.17398927) × R
    0.000766990000000002 × 0.984902012206852 × 6371000     		du = 4812.71707395629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17323381)-sin(-0.17398927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985032510905661-0.984902012206852)×R²
    abs(-0.03374758--0.03451457)×0.00013049869880899×R²
    0.000766990000000002×0.00013049869880899×6371000²
    0.000766990000000002×0.00013049869880899×40589641000000     		ar = 23165314.5909197m²