Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4051 / 12917
↖ ↑ ↗
← S 71.448163°
W 90.988769°		 ← 777.34 m → S 71.448163°
W 90.966797°		 →
↑
777.20 m
↓
↑
777.20 m
↓
S 71.455153°
W 90.988769°		 ← 777.06 m →
604 037 m²		 S 71.455153°
W 90.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.247283935546875 y=0.788421630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.247283935546875 × 214)
    floor (0.247283935546875 × 16384)
    floor (4051.5)     		tx = 4051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788421630859375 × 214)
    floor (0.788421630859375 × 16384)
    floor (12917.5)     		ty = 12917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4051 / 12917 ti = "14/4051/12917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4051/12917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4051 ÷ 214
    4051 ÷ 16384     		x = 0.24725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12917 ÷ 214
    12917 ÷ 16384     		y = 0.78839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.58805361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.5767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81201480563812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58805361} λ = -1.58805361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81201480563812))-π/2
    2×atan(0.163324737474415)-π/2
    2×0.161895318997975-π/2
    0.323790637995949-1.57079632675     		φ = -1.24700569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58805361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.988769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24700569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.448163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4051 KachelY 12917 -1.58805361 -1.24700569 -90.988769 -71.448163
    Oben rechts KachelX + 1 4052 KachelY 12917 -1.58767012 -1.24700569 -90.966797 -71.448163
    Unten links KachelX 4051 KachelY + 1 12918 -1.58805361 -1.24712768 -90.988769 -71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 4052 KachelY + 1 12918 -1.58767012 -1.24712768 -90.966797 -71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24700569--1.24712768) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dl = 777.198290000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24700569--1.24712768) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dr = 777.198290000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58805361--1.58767012) × cos(-1.24700569) × R
    0.000383489999999931 × 0.318162498712549 × 6371000     		do = 777.339322477715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58805361--1.58767012) × cos(-1.24712768) × R
    0.000383489999999931 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 777.056756618901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24700569)-sin(-1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318162498712549-0.318046845410199)×R²
    abs(-1.58767012--1.58805361)×0.000115653302350027×R²
    0.000383489999999931×0.000115653302350027×6371000²
    0.000383489999999931×0.000115653302350027×40589641000000     		ar = 604036.988078155m²