Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4050 / 1990
↖ ↑ ↗
← N 67.508568°
W  2.021484°		 ← 1 869.30 m → N 67.508568°
W  1.977539°		 →
↑
1 869.95 m
↓
↑
1 869.95 m
↓
N 67.491751°
W  2.021484°		 ← 1 870.63 m →
3 496 750 m²		 N 67.491751°
W  1.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49444580078125 y=0.24298095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49444580078125 × 213)
    floor (0.49444580078125 × 8192)
    floor (4050.5)     		tx = 4050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.24298095703125 × 213)
    floor (0.24298095703125 × 8192)
    floor (1990.5)     		ty = 1990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4050 / 1990 ti = "13/4050/1990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4050/1990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4050 ÷ 213
    4050 ÷ 8192     		x = 0.494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1990 ÷ 213
    1990 ÷ 8192     		y = 0.242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242919921875 × 2 - 1) × π
    0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03528156} λ = -0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61528176959741))-π/2
    2×atan(5.02930482903586)-π/2
    2×1.3745215590091-π/2
    2.74904311801819-1.57079632675     		φ = 1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4050 KachelY 1990 -0.03528156 1.17824679 -2.021484 67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 4051 KachelY 1990 -0.03451457 1.17824679 -1.977539 67.508568
    Unten links KachelX 4050 KachelY + 1 1991 -0.03528156 1.17795328 -2.021484 67.491751
    Unten rechts KachelX + 1 4051 KachelY + 1 1991 -0.03451457 1.17795328 -1.977539 67.491751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17824679-1.17795328) × R
    0.000293509999999886 × 6371000     		dl = 1869.95220999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17824679-1.17795328) × R
    0.000293509999999886 × 6371000     		dr = 1869.95220999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03528156--0.03451457) × cos(1.17824679) × R
    0.000766989999999995 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 1869.30487841425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03528156--0.03451457) × cos(1.17795328) × R
    0.000766989999999995 × 0.382816434804641 × 6371000     		du = 1870.62993997459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17824679)-sin(1.17795328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382816434804641)×R²
    abs(-0.03451457--0.03528156)×0.000271168193978766×R²
    0.000766989999999995×0.000271168193978766×6371000²
    0.000766989999999995×0.000271168193978766×40589641000000     		ar = 3496749.71455239m²