Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4049 / 4689
↖ ↑ ↗
← S 25.204941°
W  2.065430°		 ← 4 421.25 m → S 25.204941°
W  2.021484°		 →
↑
4 420.52 m
↓
↑
4 420.52 m
↓
S 25.244696°
W  2.065430°		 ← 4 419.81 m →
19 541 032 m²		 S 25.244696°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49432373046875 y=0.57244873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49432373046875 × 213)
    floor (0.49432373046875 × 8192)
    floor (4049.5)     		tx = 4049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57244873046875 × 213)
    floor (0.57244873046875 × 8192)
    floor (4689.5)     		ty = 4689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4049 / 4689 ti = "13/4049/4689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4049/4689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4049 ÷ 213
    4049 ÷ 8192     		x = 0.4942626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4689 ÷ 213
    4689 ÷ 8192     		y = 0.5723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.03604855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.454825303595093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03604855} λ = -0.03604855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454825303595093))-π/2
    2×atan(0.634558813409199)-π/2
    2×0.56544355795273-π/2
    1.13088711590546-1.57079632675     		φ = -0.43990921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03604855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.065430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43990921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.204941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4049 KachelY 4689 -0.03604855 -0.43990921 -2.065430 -25.204941
    Oben rechts KachelX + 1 4050 KachelY 4689 -0.03528156 -0.43990921 -2.021484 -25.204941
    Unten links KachelX 4049 KachelY + 1 4690 -0.03604855 -0.44060306 -2.065430 -25.244696
    Unten rechts KachelX + 1 4050 KachelY + 1 4690 -0.03528156 -0.44060306 -2.021484 -25.244696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43990921--0.44060306) × R
    0.000693849999999996 × 6371000     		dl = 4420.51834999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43990921--0.44060306) × R
    0.000693849999999996 × 6371000     		dr = 4420.51834999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03604855--0.03528156) × cos(-0.43990921) × R
    0.000766990000000002 × 0.904790330535089 × 6371000     		do = 4421.25187901661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03604855--0.03528156) × cos(-0.44060306) × R
    0.000766990000000002 × 0.904494631661076 × 6371000     		du = 4419.80694845288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43990921)-sin(-0.44060306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904790330535089-0.904494631661076)×R²
    abs(-0.03528156--0.03604855)×0.000295698874013262×R²
    0.000766990000000002×0.000295698874013262×6371000²
    0.000766990000000002×0.000295698874013262×40589641000000     		ar = 19541032.1740955m²