Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4046 / 4319
↖ ↑ ↗
← S  9.752370°
W  2.197266°		 ← 4 815.88 m → S  9.752370°
W  2.153320°		 →
↑
4 815.58 m
↓
↑
4 815.58 m
↓
S  9.795678°
W  2.197266°		 ← 4 815.25 m →
23 189 761 m²		 S  9.795678°
W  2.153320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49395751953125 y=0.52728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49395751953125 × 213)
    floor (0.49395751953125 × 8192)
    floor (4046.5)     		tx = 4046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52728271484375 × 213)
    floor (0.52728271484375 × 8192)
    floor (4319.5)     		ty = 4319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4046 / 4319 ti = "13/4046/4319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4046/4319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4046 ÷ 213
    4046 ÷ 8192     		x = 0.493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4319 ÷ 213
    4319 ÷ 8192     		y = 0.5272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.493896484375 × 2 - 1) × π
    -0.01220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03834952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.17103885784436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03834952} λ = -0.03834952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17103885784436))-π/2
    2×atan(0.842788823878388)-π/2
    2×0.700292678998982-π/2
    1.40058535799796-1.57079632675     		φ = -0.17021097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03834952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.197266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17021097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.752370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4046 KachelY 4319 -0.03834952 -0.17021097 -2.197266 -9.752370
    Oben rechts KachelX + 1 4047 KachelY 4319 -0.03758253 -0.17021097 -2.153320 -9.752370
    Unten links KachelX 4046 KachelY + 1 4320 -0.03834952 -0.17096683 -2.197266 -9.795678
    Unten rechts KachelX + 1 4047 KachelY + 1 4320 -0.03758253 -0.17096683 -2.153320 -9.795678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17021097--0.17096683) × R
    0.000755859999999997 × 6371000     		dl = 4815.58405999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17021097--0.17096683) × R
    0.000755859999999997 × 6371000     		dr = 4815.58405999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03834952--0.03758253) × cos(-0.17021097) × R
    0.000766989999999995 × 0.985549052576271 × 6371000     		do = 4815.87883237978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03834952--0.03758253) × cos(-0.17096683) × R
    0.000766989999999995 × 0.9854207357218 × 6371000     		du = 4815.25181293141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17021097)-sin(-0.17096683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985549052576271-0.9854207357218)×R²
    abs(-0.03758253--0.03834952)×0.000128316854471122×R²
    0.000766989999999995×0.000128316854471122×6371000²
    0.000766989999999995×0.000128316854471122×40589641000000     		ar = 23189760.7117424m²