Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40454 / 9733
↖ ↑ ↗
← N 77.460067°
E 42.220459°		 ← 132.61 m → N 77.460067°
E 42.225952°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
N 77.458874°
E 42.220459°		 ← 132.63 m →
17 591 m²		 N 77.458874°
E 42.225952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617286682128906 y=0.148521423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617286682128906 × 216)
    floor (0.617286682128906 × 65536)
    floor (40454.5)     		tx = 40454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148521423339844 × 216)
    floor (0.148521423339844 × 65536)
    floor (9733.5)     		ty = 9733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40454 / 9733 ti = "16/40454/9733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40454/9733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40454 ÷ 216
    40454 ÷ 65536     		x = 0.617279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9733 ÷ 216
    9733 ÷ 65536     		y = 0.148513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617279052734375 × 2 - 1) × π
    0.23455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73688602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148513793945312 × 2 - 1) × π
    0.702972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20845296549599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73688602} λ = 0.73688602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20845296549599))-π/2
    2×atan(9.10162496802227)-π/2
    2×1.46136476294607-π/2
    2.92272952589214-1.57079632675     		φ = 1.35193320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73688602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.220459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35193320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.460067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40454 KachelY 9733 0.73688602 1.35193320 42.220459 77.460067
    Oben rechts KachelX + 1 40455 KachelY 9733 0.73698189 1.35193320 42.225952 77.460067
    Unten links KachelX 40454 KachelY + 1 9734 0.73688602 1.35191238 42.220459 77.458874
    Unten rechts KachelX + 1 40455 KachelY + 1 9734 0.73698189 1.35191238 42.225952 77.458874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35193320-1.35191238) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35193320-1.35191238) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73688602-0.73698189) × cos(1.35193320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217120010630021 × 6371000     		do = 132.614247115084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73688602-0.73698189) × cos(1.35191238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217140333920155 × 6371000     		du = 132.626660332144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35193320)-sin(1.35191238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217120010630021-0.217140333920155)×R²
    abs(0.73698189-0.73688602)×2.03232901340722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03232901340722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03232901340722e-05×40589641000000     		ar = 17591.3366409945m²