Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40453 / 9732
↖ ↑ ↗
← N 77.461259°
E 42.214966°		 ← 132.60 m → N 77.461259°
E 42.220459°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
N 77.460067°
E 42.214966°		 ← 132.61 m →
17 581 m²		 N 77.460067°
E 42.220459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617271423339844 y=0.148506164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617271423339844 × 216)
    floor (0.617271423339844 × 65536)
    floor (40453.5)     		tx = 40453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148506164550781 × 216)
    floor (0.148506164550781 × 65536)
    floor (9732.5)     		ty = 9732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40453 / 9732 ti = "16/40453/9732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40453/9732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40453 ÷ 216
    40453 ÷ 65536     		x = 0.617263793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9732 ÷ 216
    9732 ÷ 65536     		y = 0.14849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.617263793945312 × 2 - 1) × π
    0.234527587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.73679015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14849853515625 × 2 - 1) × π
    0.7030029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20854883929523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73679015} λ = 0.73679015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20854883929523))-π/2
    2×atan(9.10249761721864)-π/2
    2×1.46137517051926-π/2
    2.92275034103851-1.57079632675     		φ = 1.35195401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73679015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.214966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35195401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40453 KachelY 9732 0.73679015 1.35195401 42.214966 77.461259
    Oben rechts KachelX + 1 40454 KachelY 9732 0.73688602 1.35195401 42.220459 77.461259
    Unten links KachelX 40453 KachelY + 1 9733 0.73679015 1.35193320 42.214966 77.460067
    Unten rechts KachelX + 1 40454 KachelY + 1 9733 0.73688602 1.35193320 42.220459 77.460067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35195401-1.35193320) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35195401-1.35193320) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73679015-0.73688602) × cos(1.35195401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217099697007265 × 6371000     		do = 132.60183980274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73679015-0.73688602) × cos(1.35193320) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217120010630021 × 6371000     		du = 132.614247115084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35195401)-sin(1.35193320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217099697007265-0.217120010630021)×R²
    abs(0.73688602-0.73679015)×2.03136227552581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03136227552581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03136227552581e-05×40589641000000     		ar = 17581.2420322351m²