Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40444 / 9718
↖ ↑ ↗
← N 77.477944°
E 42.165527°		 ← 132.44 m → N 77.477944°
E 42.171021°		 →
↑
132.45 m
↓
↑
132.45 m
↓
N 77.476753°
E 42.165527°		 ← 132.45 m →
17 543 m²		 N 77.476753°
E 42.171021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.617134094238281 y=0.148292541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.617134094238281 × 216)
    floor (0.617134094238281 × 65536)
    floor (40444.5)     		tx = 40444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148292541503906 × 216)
    floor (0.148292541503906 × 65536)
    floor (9718.5)     		ty = 9718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40444 / 9718 ti = "16/40444/9718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40444/9718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40444 ÷ 216
    40444 ÷ 65536     		x = 0.61712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9718 ÷ 216
    9718 ÷ 65536     		y = 0.148284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61712646484375 × 2 - 1) × π
    0.2342529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.73592728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148284912109375 × 2 - 1) × π
    0.70343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20989107248459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73592728} λ = 0.73592728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20989107248459))-π/2
    2×atan(9.11472349478037)-π/2
    2×1.46152077431643-π/2
    2.92304154863286-1.57079632675     		φ = 1.35224522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73592728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.165527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35224522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.477944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40444 KachelY 9718 0.73592728 1.35224522 42.165527 77.477944
    Oben rechts KachelX + 1 40445 KachelY 9718 0.73602316 1.35224522 42.171021 77.477944
    Unten links KachelX 40444 KachelY + 1 9719 0.73592728 1.35222443 42.165527 77.476753
    Unten rechts KachelX + 1 40445 KachelY + 1 9719 0.73602316 1.35222443 42.171021 77.476753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35224522-1.35222443) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dl = 132.453089999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35224522-1.35222443) × R
    2.07899999999928e-05 × 6371000     		dr = 132.453089999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73592728-0.73602316) × cos(1.35224522) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216815423328621 × 6371000     		do = 132.442022227181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73592728-0.73602316) × cos(1.35222443) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.216835718742056 × 6371000     		du = 132.454419710515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35224522)-sin(1.35222443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216815423328621-0.216835718742056)×R²
    abs(0.73602316-0.73592728)×2.02954134347899e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.02954134347899e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.02954134347899e-05×40589641000000     		ar = 17543.1761331831m²