Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4044 / 4318
↖ ↑ ↗
← S  9.709057°
W  2.285156°		 ← 4 816.50 m → S  9.709057°
W  2.241211°		 →
↑
4 816.22 m
↓
↑
4 816.22 m
↓
S  9.752370°
W  2.285156°		 ← 4 815.88 m →
23 195 842 m²		 S  9.752370°
W  2.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49371337890625 y=0.52716064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49371337890625 × 213)
    floor (0.49371337890625 × 8192)
    floor (4044.5)     		tx = 4044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52716064453125 × 213)
    floor (0.52716064453125 × 8192)
    floor (4318.5)     		ty = 4318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4044 / 4318 ti = "13/4044/4318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4044/4318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4044 ÷ 213
    4044 ÷ 8192     		x = 0.49365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4318 ÷ 213
    4318 ÷ 8192     		y = 0.527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.03988350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.170271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03988350} λ = -0.03988350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.170271867450439))-π/2
    2×atan(0.843435482769284)-π/2
    2×0.700670656844138-π/2
    1.40134131368828-1.57079632675     		φ = -0.16945501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03988350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16945501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.709057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4044 KachelY 4318 -0.03988350 -0.16945501 -2.285156 -9.709057
    Oben rechts KachelX + 1 4045 KachelY 4318 -0.03911651 -0.16945501 -2.241211 -9.709057
    Unten links KachelX 4044 KachelY + 1 4319 -0.03988350 -0.17021097 -2.285156 -9.752370
    Unten rechts KachelX + 1 4045 KachelY + 1 4319 -0.03911651 -0.17021097 -2.241211 -9.752370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16945501--0.17021097) × R
    0.00075596 × 6371000     		dl = 4816.22116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16945501--0.17021097) × R
    0.00075596 × 6371000     		dr = 4816.22116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03988350--0.03911651) × cos(-0.16945501) × R
    0.000766990000000002 × 0.985676823227132 × 6371000     		do = 4816.50318280791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03988350--0.03911651) × cos(-0.17021097) × R
    0.000766990000000002 × 0.985549052576271 × 6371000     		du = 4815.87883237982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16945501)-sin(-0.17021097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985676823227132-0.985549052576271)×R²
    abs(-0.03911651--0.03988350)×0.000127770650860337×R²
    0.000766990000000002×0.000127770650860337×6371000²
    0.000766990000000002×0.000127770650860337×40589641000000     		ar = 23195842.1460301m²