Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40420 / 9764
↖ ↑ ↗
← N 77.423040°
E 42.033691°		 ← 133.01 m → N 77.423040°
E 42.039185°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
N 77.421843°
E 42.033691°		 ← 133.03 m →
17 695 m²		 N 77.421843°
E 42.039185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.616767883300781 y=0.148994445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.616767883300781 × 216)
    floor (0.616767883300781 × 65536)
    floor (40420.5)     		tx = 40420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148994445800781 × 216)
    floor (0.148994445800781 × 65536)
    floor (9764.5)     		ty = 9764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40420 / 9764 ti = "16/40420/9764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40420/9764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40420 ÷ 216
    40420 ÷ 65536     		x = 0.61676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9764 ÷ 216
    9764 ÷ 65536     		y = 0.14898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61676025390625 × 2 - 1) × π
    0.2335205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.73362631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14898681640625 × 2 - 1) × π
    0.7020263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20548087771954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73362631} λ = 0.73362631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20548087771954))-π/2
    2×atan(9.07461429863199)-π/2
    2×1.46104164461546-π/2
    2.92208328923092-1.57079632675     		φ = 1.35128696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73362631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.033691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35128696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.423040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40420 KachelY 9764 0.73362631 1.35128696 42.033691 77.423040
    Oben rechts KachelX + 1 40421 KachelY 9764 0.73372219 1.35128696 42.039185 77.423040
    Unten links KachelX 40420 KachelY + 1 9765 0.73362631 1.35126608 42.033691 77.421843
    Unten rechts KachelX + 1 40421 KachelY + 1 9765 0.73372219 1.35126608 42.039185 77.421843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35128696-1.35126608) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dl = 133.026479999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35128696-1.35126608) × R
    2.08799999998899e-05 × 6371000     		dr = 133.026479999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73362631-0.73372219) × cos(1.35128696) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217750789140442 × 6371000     		do = 133.013391817674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73362631-0.73372219) × cos(1.35126608) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217771168064899 × 6371000     		du = 133.025840313839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35128696)-sin(1.35126608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217750789140442-0.217771168064899)×R²
    abs(0.73372219-0.73362631)×2.03789244571373e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03789244571373e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03789244571373e-05×40589641000000     		ar = 17695.1312966488m²